Разница между фазовым пространством и гильбертовым пространством? [закрыто]

Вкратце: фазовое пространство не превращается в векторное пространство, потому что эта дополнительная структура не дает никакой пользы; квантовая механика использует гильбертово пространство, потому что эта дополнительная структура дает преимущества.

Всякий раз, когда вы связываете математическую структуру с физической концепцией, вам нужно задаться вопросом, насколько полезна эта связь. Математическая структура будет иметь различные свойства, поэтому возникает вопрос: воплощает ли физическая концепция все эти свойства и достаточно ли этих свойств для описания физики?

В этом случае основная математическая структура, о которой вы спрашиваете, — это векторное пространство, имеющее два ключевых свойства: сложение векторов и умножение на скаляр. В квантовой механике есть физическая концепция интерференции между двумя частицами. Математическая структура векторного пространства может представить это как сложение двух векторов (волновых функций), представляющих частицы. У нас также есть концепция суперпозиции состояний для одной частицы, которая также представлена ​​добавлением этих состояний. Но простое сложение двух возможных состояний дает вам волновую функцию, в которой вероятность найти частицу в этом состоянии больше единицы. Поэтому вам нужно уметь умножать возможные состояния на скаляр. Более того, может существовать ничтожная вероятность найти частицу в одном из этих состояний, так что вы хотели бы смешать только небольшое количество этого вектора; вы бы умножили его на небольшой скаляр.

Все это просто аргументы, предполагающие, что векторное пространство дает вам разумный способ представления физической ситуации, а избавление от любых особенностей векторного пространства означает, что вы избавляетесь от части его способности описывать физику. Так что нам, вероятно, не нужна более простая математическая структура, и нет никакой очевидной причины иметь более сложную математическую структуру. ^[1]

Хорошо, теперь обратимся к фазовому пространству. Для простоты возьмем обычный пример одиночной частицы в одномерном движении, поэтому фазовое пространство двумерно. Напомним, что одно из этих измерений представляет физическое понятие положения, а другое — физическое понятие импульса. На самом деле вы могли бы создать векторное пространство из этих двух измерений; просто определите точку как вектор в терминах ее координат, определите сложение двух точек путем сложения их координат и определите скалярное умножение путем умножения ее координат. Это совершенно правильная математическая структура. ^[2]

Но теперь мы должны задать свой вопрос. Что дает вам эта причудливая математическая структура? Являются ли сложение векторов и скалярное умножение полезными выражениями какой-то физической концепции? Что значит одновременно умножить вашу позицию и моментум, например, на 2? Что значит добавить частицу с положением 1 и импульсом 0 к частице с положением 0 и импульсом 1? Это просто другое состояние, возможно, с другой энергетикой. По сути, обычно не будет какой-либо полезной физической интерпретации этих операций.

В общем (хотя и не всегда) в физике бесполезно добавлять объекты разных типов. В данном случае позиция и импульс — это совсем разные понятия, поэтому вообще непонятно, зачем их складывать вместе. С математической точки зрения вы можете определить это. Но с физической точки зрения непонятно, зачем это нужно. ^[3]

Сноски:

[1] Как сказал ОП, квантовая механика фактически использует гильбертово пространство, которое является векторным пространством с другим важным свойством. Это не только векторное пространство, на нем также определен внутренний продукт; вы можете взять два вектора и получить скаляр. (Есть еще несколько технических деталей, но это важная часть.) Это важно, потому что оно воплощает, например, физическую концепцию вероятности. Вот почему квантовые волновые функции должны быть не только векторами, но и элементами гильбертова пространства. Выше я просто ограничился свойствами вектора, потому что, похоже, этого хотел ОП.

[2] Кто-то может возразить, что мы добавили количества различных единиц, а в физике нас учат никогда этого не делать. Есть вполне веская причина, по которой нас этому учат в физике: в основном это никогда не бывает полезным и обычно является признаком того, что мы сделали что-то не так. Но с чисто математической точки зрения это действительно так. Вы можете добавить 1 meter, чтобы 5 kilograms*meters/secondполучить количество 1m + 5kg*m/s, так же, как вы можете добавить от 1 до 5$i$(где$i$является квадратным корнем из -1), чтобы получить количество 1 + 5$i$. Я просто не знаю, что на 1m + 5kg*m/sсамом деле означает это количество и как оно может быть полезно. По сути, если бы я получил что-то подобное в расчетах, я бы знал, что совершил ошибку, потому что я никогда не хочу ничего подобного. Тем не менее, он математически хорошо определен. На самом деле можно утверждать, что алгебра Клиффорда (или геометрическая алгебра) делает по существу то же самое, добавляя скаляр к вектору или бивектору. Если к вектору присоединить единицы расстояния, например, спинор имеет единицы [безразмерные + расстояние$^2$]. Возможны и другие интерпретации, но это допустимо.

[3] Существует также понятие траектории в фазовом пространстве, где траектория задается вектором. Технически этот вектор не находится в фазовом пространстве; это в касательном пространстве к фазовому пространству. Тем не менее, это пример векторного пространства, в котором разные направления будут иметь разные единицы измерения.