Зачем нужен принцип исключения Паули?

Question

Зачем нужен принцип исключения Паули?

Физика
фермионы
квантовая механика
идентичные частицы
статистическая механика
Паули-исключение-принцип

Критика

Почему нельзя поместить два фермиона в одно и то же квантовое состояние? Я читал в какой-то книге, что это нарушает квантовую статистику. Кроме того, что заставляет бозоны иметь одинаковые квантовые состояния?

Биофизик

Бозоны не всегда имеют одно и то же квантовое состояние. Просто у них есть возможность. У меня нет времени на полный ответ, но это связано с обменом частицами. Фермионное состояние антисимметрично относительно обмена частицами. Поэтому, если они находятся в одном и том же состоянии, волновая функция должна быть равна 0.

ZeroTheHero

Атомные спектры можно объяснить, предполагая, что не более 2 электронов находятся в одном и том же состоянии.

Анна В

продолжая комментарий нуля, когда у одного есть два состояния, можно использовать математику SU (2), давая разные проекции квантовых чисел каждому из двух электронов.

Горячие Лики

Почему исключить Паули? Вы когда-нибудь сталкивались с парнем на вечеринке??? Полное убийство кайфа!!!

Ответы (3)

Зачем нужен принцип исключения Паули?

Бозоны не всегда имеют одно и то же квантовое состояние. Просто у них есть возможность. У меня нет времени на полный ответ, но это связано с обменом частицами. Фермионное состояние антисимметрично относительно обмена частицами. Поэтому, если они находятся в одном и том же состоянии, волновая функция должна быть равна 0.
Атомные спектры можно объяснить, предполагая, что не более 2 электронов находятся в одном и том же состоянии.
продолжая комментарий нуля, когда у одного есть два состояния, можно использовать математику SU (2), давая разные проекции квантовых чисел каждому из двух электронов.
Почему исключить Паули? Вы когда-нибудь сталкивались с парнем на вечеринке??? Полное убийство кайфа!!!

Дж. Г. · Answer 1

Позволять $\psi(x_1,\,x_2)$ обозначим взаимную волновую функцию двух одинаковых частиц, где векторы $x_i$ связать квантовые числа состояния одной частицы. Обмен частицами изменяет амплитуду на $\psi(x_2,\,x_1)$ . Линейный оператор, меняющий $\psi$ таким образом выравнивается до идентичности (поскольку второй обмен восстанавливает $\psi(x_1,\,x_2)$ ), поэтому его собственные значения равны $\pm 1$ . Бозоны достигают собственного значения $+1$ , с чем-то вроде $\psi(x_1,\,x_2)=(\phi(x_1,\,x_2)+\phi(x_2,\,x_1))/\sqrt{2}$ . Для фермионов собственное значение равно $-1$ и $+$ между $\phi$ с становится $-$ . Но потом $\psi(x_1,\,x_1)=0$ , и нет никаких шансов, что оба фермиона будут находиться в одном и том же состоянии.

Я думаю, по сути, это дает определение фермионов. Из-за приведенной выше математики некоторые состояния частиц имеют собственное состояние +1, а некоторые имеют собственное состояние -1. Фермионы определяются как те, которые имеют собственное значение -1. Побочным эффектом этого является то, что два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Экспериментальные результаты показывают, какие частицы являются фермионами, а какие — бозонами.

Юзуриха Инори · Answer 2

Красивый вопрос, который рано или поздно задает каждый студент, изучающий квантовую механику. Рад, что ты тоже.

Если быть очень кратким, ответ на ваш вопрос не очень прост. Решение лежит глубоко в основе квантовой теории поля (КЭД) в теореме, известной как теорема о спиновой статистике (ТСП), впервые явно и окончательно доказанной Паули. Я постараюсь изложить полное доказательство того, почему фермионы и бозоны ведут себя именно так, а не иначе, чтобы вы могли сослаться на реальный аргумент и оценить его красоту.

Помните на протяжении всего ответа, что фермионы «определяются» как те частицы, чьи волновые функции антикоммутируют , а бозоны «определяются» как те частицы, которые коммутируют .

Из КТП : релятивистская причинность требует квантовых полей в двух точках пространства-времени. $x$ и $y$ разделенные пространственноподобным интервалом $(x-y)^2<0$ либо коммутируют, либо антикоммутируют друг с другом.

Утверждение SST : поля целочисленных спинов (бозонов) коммутируют, а поля полуцелых спинов (фермионов) антикоммутируют.

Мы будем доказывать приведенное выше утверждение для размерности $d=4$ потому что для $d\ne4$ он чрезмерно сложен (существуют экзотические спиновые состояния, но мы не будем вдаваться в подробности).

Предположения :

Поля являются лоренц-инвариантными.
Возбуждения полей (частиц) имеют положительные энергии.
Все состояния имеют положительную норму (избегая частиц-призраков, которые имеют неправильную статистику спина).

Доказательство :

Мы будем рассматривать мультиплет Лоренца общего положения квантовых полей $\hat{\phi}_A$ кванты которого имеют спин $j$ и масса $M$ . Свободные поля удовлетворяют некоторому виду линейных уравнений движения, которые имеют решения в виде плоских волн с $p^2=M^2$ . Позволять $p^0=+\sqrt{\textbf{p}^2+M^2}$ и разреши $e^{-ipx}f_A\left(\textbf{p},s\right)$ и $e^{+ipx}f_A\left(\textbf{p},s\right)$ быть соответственно положительным частотным и отрицательным частотным решениями. $s$ здесь обозначаются разные поляризации волн для одного и того же $p^\mu$ : спиновые состояния для $M>0$ или спиральности для $M=0$ .

Основными воззрениями для нас являются следующие два определения и две связывающие их леммы.

(Пожалуйста, пока примите эти леммы за истину, ответ станет слишком большим, если мы приведем и эти доказательства. Но уверяю вас, что это хорошо доказанные факты и для них требуются только первые три основных предположения.)

Определения:

$Ф_{А Б} "=" Σ_{с} ф_{А} (п, с) ф_{Б}^{*} (п, с)$ $F_{AB}=\Sigma_s f_A(\textbf{p},s)f^*_B(\textbf{p},s)$
${ЧАС}_{А Б} "=" Σ_{с} {час}_{А} (п, с) {час}_{Б}^{*} (п, с)$ $H_{AB}=\Sigma_s h_A(\textbf{p},s)h^*_B(\textbf{p},s)$

И отношения:

Оба $F_{AB}\left(p\right)$ и $H_{AB}\left(p\right)$ могут быть аналитически продолжены до импульсов вне оболочки как полиномы от четырех компонент $p^\mu$
Эти многочлены связаны друг с другом соотношением:

\begin{array}{rcll} {ЧАС}_{А Б} (- п^{мю}) & "=" & + Ф_{А Б} (+ п^{мю}) & для интегрального спина \\ {ЧАС}_{А Б} (- п^{мю}) & "=" & - Ф_{А Б} (+ п^{мю}) & для полуинтегрального вращения \end{array}

$\begin{array}{rcll} H_{AB}\left(-p^\mu\right) & = & +F_{AB}\left(+p^\mu\right) & \text{for integral spin} \\ % H_{AB}\left(-p^\mu\right) & = & -F_{AB}\left(+p^\mu\right) & \text{for half-integral spin} \end{array}$

Свободное квантовое поле представляет собой суперпозицию решений с операторными коэффициентами, таким образом:

\begin{array}{ccc} {\hat{ф}}_{А} (Икс) & "=" & \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 Е_{п}} Σ_{с} {[е^{- я п Икс} ф_{А} (п, с) \hat{а} (п, с) + е^{+ я п Икс} {час}_{А} (п, с) {\hat{б}}^{†} (п, с)]}_{п^{0} "=" + Е_{п}} \\ {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) & "=" & \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 Е_{п}} Σ_{с} {[е^{- я п у} {час}_{Б}^{*} (п, с) \hat{б} (п, с) + е^{+ я п у} ф_{Б}^{*} (п, с) {\hat{а}}^{†} (п, с)]}_{п^{0} "=" + Е_{п}} \end{array}

$\begin{array}{ccc} \hat\phi_A(x) & = & \int \frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3}\frac 1{2E_\textbf{p}}\Sigma_s{\left[e^{-ipx}f_A(\textbf{p},s)\hat a\left(\textbf{p},s\right) + e^{+ipx}h_A(\textbf{p},s)\hat b^\dagger(\textbf{p},s)\right]}_{p^0=+E_\textbf{p}} \\ % \hat\phi^\dagger_B\left(y\right) & = & \int \frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3}\frac 1{2E_\textbf{p}}\Sigma_s {\left[e^{-ipy}h^*_B(\textbf{p},s)\hat b(\textbf{p},s) + e^{+ipy}f^*_B(\textbf{p},s)\hat a^\dagger(\textbf{p},s)\right]}_{p^0=+E_\textbf{p}} \end{array}$

Независимо от статистики, положительные энергии частиц требуют $\hat a^\dagger \left(p,s\right)$ и $\hat b^\dagger \left(p,s\right)$ быть операторами создания в то время как $\hat a \left(p,s\right)$ и $\hat b\left(p,s\right)$ быть операторами уничтожения. Таким образом,

\begin{array}{ccccc} {\hat{а}}^{†} (п, с) | 0 ⟩ & "=" & | 1 (п, с, +) ⟩ \\ {\hat{б}}^{†} (п, с) | 0 ⟩ & "=" & | 1 (п, с, -) ⟩ \\ \hat{а} (п, с) | 0 ⟩ & "=" & \hat{б} (п, с) | 0 ⟩ & "=" & 0 \end{array}

$\begin{array}{ccccc} \hat a^\dagger (\textbf{p},s) \left|0\right> & = & \left|1(\textbf{p},s,+)\right> \\ \hat b^\dagger (\textbf{p},s) \left|0\right> & = & \left|1(\textbf{p},s,-)\right> \\ \hat a (\textbf{p},s) \left|0\right> & = & \hat b (\textbf{p},s) \left|0\right> & = & 0 \end{array}$

Следовательно, в фоковском пространстве положительно определенной нормы:

⟨ 0 | \hat{а} (п, с) {\hat{а}}^{†} (п^{'}, с^{'}) | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | \hat{б} (п, с) {\hat{б}}^{†} (п^{'}, с^{'}) | 0 ⟩ "=" + 2 Е_{п} (2 π)^{3} {дельта}^{(3)} (п - п^{'}) {дельта}_{с, с^{'}}

$\left< 0\ \middle|\ \hat a(\textbf{p},s)\hat a^\dagger (\textbf{p}',s')\ \middle|\ 0 \right> = \left< 0\ \middle|\ \hat b(\textbf{p},s)\hat b^\dagger (\textbf{p}',s')\ \middle|\ 0 \right> = +2E_\textbf{p}(2\pi)^3 \delta^{(3)}(\textbf{p}-\textbf{p}')\delta_{s,s'}$

в то время как все остальные «вакуумные бутерброды» двух операторов создания/уничтожения равны нулю. Поэтому, независимо от статистики, вакуумные средние значения двух полей в различных точках $x$ и $y$ даны:

\begin{array}{rcl} ⟨ 0 | {\hat{ф}}_{А} (Икс) {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) | 0 ⟩ & "=" & + \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 Е_{п}} е^{- я п (Икс - у)} \times Σ_{с} ф_{А} (п, с) ф_{Б}^{*} (п, с) \\ ⟨ 0 | {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) {\hat{ф}}_{А} (Икс) | 0 ⟩ & "=" & + \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 Е_{п}} е^{+ я п (Икс - у)} \times Σ_{с} {час}_{А} (п, с) {час}_{Б}^{*} (п, с) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \left< 0\ \middle|\ \hat\phi_A(x)\hat\phi^\dagger_B(y)\ \middle|\ 0 \right> & = & +\int \frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\frac 1{2E_{\textbf{p}}}e^{-ip(x-y)} \times \Sigma_s f_A(\textbf{p},s)f^*_B(\textbf{p},s) \\ % \left< 0\ \middle|\ \hat\phi^\dagger_B(y)\hat\phi_A(x)\ \middle|\ 0 \right> & = & +\int \frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\frac 1{2E_{\textbf{p}}}e^{+ip(x-y)} \times \Sigma_s h_A(\textbf{p},s)h^*_B\left(\textbf{p},s\right) \end{array}$

На данный момент еще немного алгебры с использованием этих определений, и первая лемма — это все, что осталось. Дальнейший расчет:

⟨ 0 | {\hat{ф}}_{А} (Икс) {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) | 0 ⟩ "=" + \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 Е_{п}} е^{- я п (Икс - у)} Ф_{А Б} (п) |_{п^{0} "=" + Е_{п}} "=" Ф_{А Б} (+ я \partial_{Икс}) Д (Икс - у)

$\langle 0\ |\ \hat\phi_A(x)\hat\phi^\dagger_B(y)\ |\ 0 \rangle = +\int \frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\frac 1{2E_{\textbf{p}}}e^{-ip(x-y)} F_{AB}(p) |_{p^0=+E_\textbf{p}}=F_{AB}(+i\partial_x)D(x-y)$

где :

Д (Икс - у) "=" + \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 Е_{п}} е^{- я п (Икс - у)} |_{п^{0} "=" + Е_{п}}

$D(x-y) = +\int \frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\frac 1{2E_{\textbf{p}}}e^{-ip(x-y)}|_{p^0=+E_\textbf{p}}$

и $F_{AB}(+i\partial_x)$ — дифференциальный оператор, построенный как соответствующий полином от $i\partial/\partial x^\mu$ вместо $p_\mu$ . Так же :

⟨ 0 | {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) {\hat{ф}}_{А} (Икс) | 0 ⟩ "=" + \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 Е_{п}} е^{+ я п (Икс - у)} {ЧАС}_{А Б} (п) |_{п^{0} "=" + Е_{п}} "=" Ф_{А Б} (- я \partial_{Икс}) Д (у - Икс)

$\left< 0\ \middle|\ \hat\phi^\dagger_B(y)\hat\phi_A(x)\ \middle|\ 0 \right> = +\int \frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\frac 1{2E_{\textbf{p}}}e^{+ip\left(x-y\right)} H_{AB}\left(p\right)|_{p^0=+E_\textbf{p}} = F_{AB}(-i\partial_x)D\left(y-x\right)$

Теория относительности требует, чтобы для пространственноподобного интервала $x-y$ , $D(y-x)= +D(x-y)$ . Вместе с тем имеет место и соотношение второго пункта лемм. Поэтому вне зависимости от статистики:

\begin{array}{cccl} ⟨ 0 | {\hat{ф}}_{А} (Икс) {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) | 0 ⟩ & "=" & + ⟨ 0 | {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) {\hat{ф}}_{А} (Икс) | 0 ⟩ & для частиц с целым спином \\ ⟨ 0 | {\hat{ф}}_{А} (Икс) {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) | 0 ⟩ & "=" & - ⟨ 0 | {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) {\hat{ф}}_{А} (Икс) | 0 ⟩ & для частиц с полуцелым спином \end{array}

$\begin{array}{cccl} \left< 0\ \middle|\ \hat\phi_A(x)\hat\phi^\dagger_B(y)\ \middle|\ 0 \right> &=& +\left< 0\ \middle|\ \hat\phi^\dagger_B(y)\hat\phi_A(x)\ \middle|\ 0 \right> & \text{for particles of integral spin} \\ % \left< 0\ \middle|\ \hat\phi_A(x)\hat\phi^\dagger_B(y)\ \middle|\ 0 \right> & = & -\left< 0\ \middle|\ \hat\phi^\dagger_B(y)\hat\phi_A(x)\ \middle|\ 0 \right> & \text{for particles of half-integral spin} \end{array}$

С другой стороны, релятивистская причинность требует для $\left(x-y\right)^2<0$ :

\begin{array}{cccl} ⟨ 0 | {\hat{ф}}_{А} (Икс) {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) | 0 ⟩ & "=" & + ⟨ 0 | {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) {\hat{ф}}_{А} (Икс) | 0 ⟩ & для бозонных полей \\ ⟨ 0 | {\hat{ф}}_{А} (Икс) {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) | 0 ⟩ & "=" & - ⟨ 0 | {\hat{ф}}_{Б}^{†} (у) {\hat{ф}}_{А} (Икс) | 0 ⟩ & для фермионных полей \end{array}

$\begin{array}{cccl} \left< 0\ \middle|\ \hat\phi_A(x)\hat\phi^\dagger_B(y)\ \middle|\ 0 \right> & = & +\left< 0\ \middle|\ \hat\phi^\dagger_B(y)\hat\phi_A(x)\ \middle|\ 0 \right> & \text{for bosonic fields} \\ % \left< 0\ \middle| \ \hat\phi_A(x)\hat\phi^\dagger_B(y)\ \middle| \ 0 \right> & = & -\left< 0\ \middle|\ \hat\phi^\dagger_B(y)\hat\phi_A(x)\ \middle|\ 0 \right> & \text{for fermionic fields} \end{array}$

И единственный способ, при котором вышеприведенная пара пар уравнений остается верной вместе, — это если все частицы с целыми спинами являются бозонами, а все частицы с полуцелыми спинами — фермионами.

И это завершает наше доказательство.

И если вы теперь разработаете коммутаторы квантовых полей частиц, вы увидите член вида $(-1)^{2j}$ всплывает, где $j$ есть спин частицы. Таким образом, вы понимаете, почему бозоны принимают значение $+1$ и фермионы берут $-1$ !

Что касается остальной части аргумента, я с удовольствием направлю вас к прекрасному ответу JG.

Ваше здоровье!!

Берт Барруа · Answer 3

В более раннем ответе объяснялось, что принцип исключения является следствием антисимметричных волновых функций. Чтобы расширить интеллектуальную карту, я хотел бы упомянуть аргументы, которые связывают еще три концепции: симметрию или антисимметрию волновой функции, целочисленный или полуцелочисленный спин и положительность энергии.

Волновое уравнение Дирака описывает частицы, имеющие два спиновых состояния и положительную или отрицательную энергию. $E=\pm \sqrt{{{p}^{2}}+{{m}^{2}}}$ . Состояния с отрицательной энергией должны быть заполнены до отказа, иначе можно будет извлечь дополнительную энергию из вакуума, который должен быть состоянием с минимальной энергией. Это требует исключения.

Паули выдвинул остроумный аргумент, связывающий антисимметрию волновых функций при перестановке позиций с полуцелым спином. Суть в том, что обмен идентичными частицами в $x=+1$ и $x=-1$ эквивалентно вращению на 180 градусов вокруг оси z , и что такое вращение частиц с ${{S}_{z}}=\tfrac{1}{2}$ введет фазовый множитель $i$ для одного или ${{i}^{2}}=-1$ для них двоих.

Существуют также алгебраические аргументы в пользу того, что поля Дирака должны быть квантованы с помощью антикоммутирующих операторов, а скалярные или векторные поля — с коммутирующими операторами, чтобы избежать акаузального распространения за пределами светового конуса.

применима ли концепция отрицательной энергии только к фермионам?
Да, это уникальная особенность фермионов.

Зачем нужен принцип исключения Паули?

Критика

Биофизик

ZeroTheHero

Анна В

Горячие Лики

Ответы (3)

Дж. Г.

пользователь3294068

Юзуриха Инори

Критика

Юзуриха Инори

Берт Барруа

Критика

Берт Барруа

Когда именно взаимодействуют одинаковые фермионы?

Принцип запрета Паули и идентичные фермионы

Типичное применение принципа запрета Паули в атомах

Особенность системы из трех электронов

Никакие два идентичных фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии?

Антисимметричное свойство фермионной волновой функции

Запрещает ли исключение Паули двум нейтральным фермионам занимать одно и то же место в пространстве?

Каков диапазон действия принципа исключения Паули?

Есть ли причина для принципа исключения Паули?

Фермионы и принцип запрета Паули