Антикоммутируют ли производные с переменными Грассмана и комплексными числами в интеграле по траекториям многих тел?

Джейн,$\partial_\tau$явно является производной по бозонному времени$\tau$, так что он коммутирует со всем остальным (кроме функций$\tau$себя, с которым у него есть ненулевой коммутатор), а не антикоммутирует. Только если оба объекта имеют фермионный характер (если оба они нечетны по Грассману), они антикоммутируют друг с другом (или имеют антикоммутатор, который можно вычислить).

Однако в формулах нет ошибки со знаком. Вы задали хороший вопрос: как вы получаете от

$$-\partial_\tau \bar\psi \psi$$ к $$+\bar\psi\partial_\tau \psi$$ Нужно немного терпения, чтобы ответить на этот вопрос. Обратите внимание, что в двух выражениях дифференцируется другая переменная. В первом это $\bar\psi$это дифференцировано; во втором это $\psi$.

Вы не можете просто перемещать производные. Даже для бозонных функций$uv'$это нечто иное, чем$u'v$, не так ли?

Таким образом, два выражения не являются «очевидно равными», даже с точностью до знака, и чтобы преобразовать одно в другое, вы должны тщательно интегрировать по частям. Обратите внимание, что

$$\partial_\tau (\bar\psi \psi) = \partial_\tau\bar\psi \psi + \bar\psi\partial_\tau\psi.$$ Это «правило Лейбница» действовало точно так же, как и для производной произведений бозонных факторов, потому что мне приходилось пузыриться $\partial_\tau$сквозь $\psi$'песок $\partial_\tau$является бозонным объектом. Если бы я записывал правило Лейбница для производной Грассмана, мне пришлось бы менять знак каждый раз, когда производная будет пузыриться через нечетный множитель Грассмана.

Но здесь мы имеем дело с бозоном$\tau$-производные, так что правило Лейбница остается таким же, как всегда. Таким образом, это означает, что с точностью до полной производной, а именно левой части$\partial_\tau (\bar\psi \psi)$который интегрируется до нуля по периодическому евклидову времени - два члена в правой части противоположны друг другу. Отсюда и появился минус.

Ответ на ваш вопрос не ссылайтесь$\psi$является переменной Грассмана. Давай сделаем это:

Начните с:

$$\begin{equation} \lim_{N \to \infty} \sum_n (\bar{\psi}^n - \bar{\psi}^{n+1}) \psi^n =\lim_{N \to \infty} \sum_n (\bar{\psi}^n\psi^n - \bar{\psi}^{n+1}\psi^n) \end{equation}$$

Прежде чем взять лимит$N\to \infty$сдвиньте фиктивную переменную$n$во второй срок к$n-1$(Я не помню, но, возможно, необходимо использовать$\psi(\beta) = -\psi(0)$в какой-то момент) мы получаем:

$$\begin{equation} \lim_{N \to \infty} \sum_n (\bar{\psi}^n\psi^n - \bar{\psi}^{n}\psi^{n-1}) = \lim_{N \to \infty} \delta \sum_n \bar{\psi}^n \dfrac{(\psi^n - \psi^{n-1})}{\delta} \end{equation}$$

Поэтому, когда вы применяете ограничение$N\to\infty$Вы получаете:

$$\begin{equation} \int d\tau \ \bar{\psi}(\tau) \partial_\tau \psi(\tau), \end{equation}$$

решение проблемы.

Однако, если вам нужен элегантный способ преобразить$\partial_\tau\bar{\psi}\psi$к$-\bar{\psi}\partial_\tau\psi$вы определяете производную произведения Грассмана по нормальной переменной (под нормальной я подразумеваю все, что не является Грассманом) как:

$$\partial_\tau (\eta \eta\prime) = \partial_\tau\eta \eta\prime + \eta\partial_\tau\eta\prime \longrightarrow \partial_\tau\eta \eta\prime = \partial_\tau (\eta \eta\prime) - \eta\partial_\tau\eta\prime$$ поэтому:

$$\begin{equation} \int d\tau \ \partial_\tau\bar{\psi}(\tau) \psi(\tau) = \left[\bar{\psi}(\tau) \psi(\tau)\right]^\beta_0 -\int d\tau \ \bar{\psi}(\tau) \partial_\tau \psi(\tau) =-\int d\tau \ \bar{\psi}(\tau) \partial_\tau \psi(\tau), \end{equation}$$ также решение проблемы.