Статьи Рю и др. написаны не очень хорошо и содержат довольно много существенных математических ошибок (например, классификация в терминах сильных топологических инвариантов не совпадает с гомотопической классификацией, если только вы не находитесь в очень низкой размерности).

Коммутирующие симметрии

Начнем с теоремы Вигнера: она утверждает, что симметрии квантовых систем — это те, которые сохраняют вероятности перехода и, следовательно, реализуются через унитарные или антиунитарные системы, коммутирующие с гамильтонианом.

Перед применением схемы Альтланда-Цирнбауэра необходимо исключить все коммутирующие унитарные симметрии. Этот шаг обычно не упоминается явно в литературе, но он необходим. В противном случае у вас будет более 10 различных классов из-за взаимодействия между унитарной, коммутирующей и другими симметриями. Наиболее ярким примером здесь являются кристаллографические симметрии, для которых существует классификация, но она намного, намного сложнее (насколько мне известно, современным уровнем техники являются работы Шиодзаки, Сато и Гоми ).

Антиунитарные коммутирующие симметрии — еще один вариант, допускаемый теоремой Вигнера. Если предположить, кроме того, что они возводятся в квадрат к$\pm \mathbf{1}$, то они четные ($+$) и нечетные ($-$) симметрии обращения времени.

Антикоммутирующие симметрии

Теперь, если вы находитесь в периодической системе, то коммутирующие симметрии дают вам дополнительную информацию о блоховских функциях, связанных с фиксированной полосой в потенциально разных точках.$k$векторы. Симметрии обращения времени обычно переворачиваются$k \mapsto -k$, и, следовательно, дать вам отношение между$\varphi_n(k)$и$\varphi_n(-k)$.

Следующий уровень сложности — это симметрии, связывающие две полосы или, в более общем случае, четное число полос друг с другом. Симметрии кирального и частично-дырочного типа связывают блоховские функции одной зоны$E_n(k)$с таковым его симметричного партнера$E_{-n}(k) = - E_n(\pm k)$, т.е. они обмениваются полосами. Математически это означает, что они должны антикоммутировать с гамильтонианом. (Поскольку они выходят за рамки теоремы Вигнера, некоторые авторы, такие как Цирнбауэр, называют эти псевдосимметрии , но я не буду делать этого различия.) Эти типы симметрии естественным образом возникают в контексте фундаментальных уравнений (например, уравнение Дирака содержит симметрия частица-дырка) или когда вы рассматриваете эффективные модели сильной связи после перенормировки нулевого уровня энергии так, чтобы он попадал в середину пересечения зон или избегал пересечения зон.

Как и прежде, антиунитарные, антикоммутирующие симметрии, симметрии типа частица-дырка, бывают двух видов: четные и нечетные, в зависимости от того, квадратичны ли они$\pm 1$. Киральные симметрии имеют один оттенок, если$U^2 = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \vartheta} \, \mathbf{1}$, затем$U' = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \frac{\vartheta}{2}} U$квадраты к$+ \mathbf{1}$.

Десятичный путь

Подводя итог, у вас есть четыре типа симметрий, два типа коммутирующих и два типа антикоммутирующих симметрий. Однако вы сократили все унитарные коммутирующие симметрии, в результате чего у вас осталось три типа симметрий. Антиунитарные симметрии бывают двух видов: четные и нечетные. Итак, у вас есть 1 случай отсутствия симметрии (класс A), 5 случаев одной симметрии (хиральный, 2x TR, 2x PH) и$2 \times 2 = 4$случаи 3-х симметрий (если у вас две симметрии, то произведение автоматически третье). В целом у вас есть$1 + 5 + 4 = 10$случаи. Это Десятичный Путь.

Симметрии высшего порядка

Вы могли бы спросить себя, можете ли вы рассмотреть более сложные симметрии, которые «обмениваются полосами» (подумайте об операторе, реализующем перестановку трехполосной системы, отображающей 1 -> 2, 2 -> 3, 3 -> 1). Безусловно, и я знаю некоторых людей, которые обдумывают эту идею. Но, насколько мне известно, на данный момент для этого нет реального применения, а существующая схема уже достаточно сложна, особенно если добавить в смесь кристаллографические симметрии.

Взаимодействие с кристаллографическими симметриями

В завершение позвольте мне привести вам пример того, как «взаимодействие» между симметриями может порождать новые явления. Рассмотрим двумерную периодическую систему, которая обладает четной симметрией обращения времени и четностью. Если пренебречь четностью, эта система топологически тривиальна (она класса AI, а в$d = 2$есть только одна фаза). Однако из-за наличия четности вы можете разделить вашу систему на четные и нечетные вклады (собственные состояния на$\pm 1$оператора четности). Бывают случаи, когда симметрия обращения времени блокируется .диагонально по отношению к этому разложению, т. е. обращение времени отображает четные нечетные функции и наоборот. Так обстоит дело в квазидвумерных фотонных кристаллах с сотовой структурой (исследованных Ву и Ху). Это означает, что симметрия обращения времени нарушена в четном и нечетном подпространстве! Другими словами, вы можете разделить систему ИИ класса на две подсистемы класса А, которые «сопряжены друг с другом». Здесь краевые состояния появляются парами, но граничные состояния имеют определенную четность (четную или нечетную). Таким образом, если вы можете выборочно возбуждать, скажем, состояния с четной четностью и вводить только возмущения, сохраняющие симметрию по четности, то ваши краевые моды будут топологически защищены. Число Черна с четной четностью дает вам чистое количество краевых состояний с четной четностью; нечетное число Черня обязательно должно быть равным по величине, но иметь противоположный знак по сравнению с четным числом Черня. Таким образом, общее число Черна системы составляет в сумме 0, как и должно быть для системы класса AI.