Член в лагранжевом инварианте относительно SO (n) SO (n) SO (n), но не O (n) O (n) O (n)?

Question

Член в лагранжевом инварианте относительно SO (n) SO (n) SO (n), но не O (n) O (n) O (n)?

Квантовая спагеттификация

В физике конденсированного состояния или в квантовой теории поля мы часто записываем члены в наш лагранжиан, которые инвариантны относительно заданных симметрий. Стандартная модель, например, инвариантна относительно $SU(3)\times SU(2) \times U(1)$ (запасное спонтанное нарушение симметрии) - в то время как типичная свободная энергия в модели Гейзенберга:

ЧАС "=" \int г^{3} \vec{р} (\frac{1}{2} \nabla_{я} М_{Дж} \nabla_{я} М_{Дж} + а_{2} \vec{М} \cdot \vec{М} + а_{4} (\vec{М} \cdot \vec{М})^{2} + \dots)

$H=\int d^3\vec r\left(\frac{1}{2} \nabla_i M_j \nabla_i M_j+a_2 \vec M \cdot \vec M+a_4(\vec M \cdot \vec M)^2+\cdots\right)$

Ясно, что в этом случае инвариантно относительно $SO(3)$ и $O(3)$ .

Мой вопрос: вообще какие члены мы можем добавить к лагранжиану (в CPM и QFT), чтобы сделать его инвариантным только при $SO(n)$ ( $SU(n)$ ) скорее тогда $O(n)$ ( $U(n)$ )?

Слереа

Термины, не являющиеся инвариантными относительно преобразований четности, например, термины, включающие взаимные произведения.

Ответы (2)

Член в лагранжевом инварианте относительно SO (n) SO (n) SO (n), но не O (n) O (n) O (n)?

Термины, не являющиеся инвариантными относительно преобразований четности, например, термины, включающие взаимные произведения.

ФродКуб · Answer 1

Возьмем теорию поля со скалярным полем. $\phi_i$ как множественное число $O(N)$ , где $i$ это $O(N)$ индекс.

Вы можете построить две скалярные комбинации:

$\phi_i \phi^i$ это и то, и другое $O(N)$ и $SO(N)$ инвариант
$\epsilon^{i j k \dots}\phi_i \phi_j \phi_k\dots$ то есть $SO(N)$ инвариант, но не $O(N)$ инвариант.

Таким образом, лагранжиан, содержащий некоторую комбинацию второго члена, будет только $SO(N)$ инвариант.

РЕДАКТИРОВАТЬ для уточнения: термин $\epsilon^{i j k \dots}\phi_i \phi_j \phi_k\dots$ равно нулю, написанному так, но добавление производных делает его отличным от нуля без изменения его свойств преобразования. Например

\partial_{мю} ф_{я} \partial_{ν} ф_{Дж} \partial_{о} ф_{к} ϵ^{я Дж к} ϵ^{мю ν о р} В_{р}

$\partial_\mu \phi_i \partial_\nu\phi_j \partial_\sigma \phi_k \epsilon^{ijk}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}V_\rho$

является $SO(3)$ инвариантный и ненулевой (где $V_\rho$ — некоторый вектор Лоренца).

Я так понимаю, что в вашем втором выражении мы предполагаем, что $\phi_i$ , $\phi_j$ и $\phi_k$ это разные поля - иначе этот термин просто равен нулю.

тпаркер · Answer 2

тпаркер

Ответ принципиально различен для глобальной и калибровочной симметрии. Для глобальных симметрий ответ FrodCube правильный, но для калибровочных симметрий в континуальной теории поля (например, той, которую вы упоминаете в своем вопросе), калибровочная группа должна быть связана, потому что калибровочное поле должно быть непрерывным. Таким образом, нет смысла иметь разъединенную группу датчиков, например $\mathrm{O}(N)$ в континуальной калибровочной теории поля.

СлучайныйПреобразование Фурье

Я не думаю, что это правильно — калибровочные теории с несвязанными группами являются хлебом с маслом нескольких активных областей исследований. Скажем, теории с калибровочными группами

O (N)

$\mathrm O(N)$ или даже

Z_{n}

$\mathbb Z_n$ .

тпаркер

@AccidentalFourierTransform Возможно, вы правы, я не эксперт - у вас есть ссылки? Люди говорят о

Z_{n}

$\mathbb{Z}_n$ решетчатых калибровочных теорий все время, но я никогда не слышал о

Z_{n}

$\mathbb{Z}_n$ Калибровочная теория континуума. Как можно добраться до частей калибровочной группы, несвязанных с единицей, посредством пространственно гладкого калибровочного преобразования?

СлучайныйПреобразование Фурье

Я тоже далеко не эксперт, так что отнеситесь к тому, что я говорю, с долей скептицизма. Для калибровочной теории над

O (N)

$\mathrm{O}(N)$ Я нашел arxiv.org/abs/1710.06069 , а для

Z_{n}

$\mathbb Z_n$ Я думаю, вам нужно что-то вроде теории Дейкграафа-Виттена.

тпаркер

@AccidentalFourierTransform Некоторые быстрые поиски в Google показывают, что теория Дейкграафа-Виттена может быть строго определена только на решетке. Но я определенно приветствовал бы комментарии экспертов о том, как работают несвязанные калибровочные группы.

СлучайныйПреобразование Фурье

Кстати, вы можете найти этот пост PSE интересным.

тпаркер

@AccidentalFourierTransform Хорошо, это обсуждает разницу между односвязными и неодносвязными калибровочными группами, которая хорошо понятна, и обе, как известно, имеют отношение к реалистичной физике. Я думаю, что идеи о несвязных калибровочных группах гораздо более спекулятивны.

Член в лагранжевом инварианте относительно SO (n) SO (n) SO (n), но не O (n) O (n) O (n)?

Квантовая спагеттификация

Слереа

Ответы (2)

ФродКуб

Квантовая спагеттификация

тпаркер

СлучайныйПреобразование Фурье

тпаркер

СлучайныйПреобразование Фурье

тпаркер

СлучайныйПреобразование Фурье

тпаркер

Вопрос о существовании точек Дирака в графене?

Является ли спин-вращательная симметрия модели Китаева D2D2D_2 или Q8Q8Q_8?

Вывод спин-орбитальной связи Рашбы в модели сильной связи

Верна ли моя попытка доказать, что фаза Берри квантуется в инверсионно-симметричных системах? Нарушаю ли я калибровочную инвариантность?

Коммутационная задача в модели Хаббарда

Почему в антиферромагнитной модели Гейзенберга существуют бесщелевые возбуждения, тогда как истинное основное состояние является синглетным?

Обзор и сомнения по поводу теоремы Блоха и концепции частичной плотности состояний

Симметрия гамильтониана Блоха

Могут ли спиновые жидкости без симметрии вращения-вращения и обращения времени обладать ненулевыми параметрами порядка волны спиновой плотности (ВСП)?

Антиунитарные операторы десятикратным способом