Симметрия обращения времени

Мы можем вывести некоторые общие топологические свойства системы для частных случаев. Это было использовано в недавней «актуальной теме» физики конденсированного состояния, топологических изоляторах. Для простоты я ограничусь в дальнейшем$2\text{D}$системы, хотя можно обобщить все на$3\text{D}$.

Оператор обращения времени является антиунитарным оператором, допускающим следующее представление:

$\hat{\Theta} = \exp \left(i\pi\hat{S}_y/\hbar \right)K$

где$K$означает комплексное сопряжение и$\hat{S}_y$является спиновым оператором вдоль$\hat{y}$ось. Рассмотрим фермионный гамильтониан для спина$s=1/2$электроны. Затем

$\hat{\Theta} =-\hat{1}$[*]

В этом случае применяется теорема Крамерса :

Позволять$\hat{\mathcal{H}}$быть$T$-инвариантный (фермионный) гамильтониан. Тогда все собственные состояния гамильтониана двукратно вырождены.

Доказательство этого утверждения простое, если вы поняли [*]. Как следствие,$T$-инвариантные фермионные системы должны иметь топологически защищенные двукратно вырожденные состояния. $T$-инвариантный гамильтониан удовлетворяет

$\hat{\Theta}\hat{\mathcal{H}} (\mathbf{k}) =\hat{\mathcal{H}} (-\mathbf{k}) \hat{\Theta}$

и могут быть классифицированы новым топологическим индексом, называемым$\mathbb{Z}_2$индекс. $\mathbb{Z}_2$индекс,$\nu$, представляет собой целое число, заданное количеством краевых состояний по модулю$2$и отличает$\nu = 0$или изолирующей фазы от$\nu = 1$, топологический изолятор. Таким образом, классы эквивалентности$T$-инвариантные гамильтонианы для изоляторов можно классифицировать по$n = 0$Инвариант Таулеса-Комото-Соловья Нийса [т.е. его$C=0$, первый индекс Черна] и дополнительный индекс$\nu$. Это дает$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$симметрия для$2\text{D}$ленточные структуры.

В конце концов, что мы можем заключить из гамильтониана? Например, что у нас есть инвариантные к обращению времени электронные состояния с объемной электронной запрещенной зоной, которая поддерживает перенос заряда и спина в бесщелевых краевых состояниях. Именно это мы и получаем в так называемой квантовой холловской фазе спина .