Автомобиль уезжает со скалы (фильм «Тельма и Луиза»)

Давайте остановимся на более разумных предположениях. Вот Ford Thunderbird 1965 года (в фильме это была модель 1966 года, достаточно близко).

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/1965_Ford_Thunderbird_Convertible.jpg

А вот и его характеристики . Колесная база составляет 2,9 м, а общая длина — 5,2 м. На глазок по фото диаметр колеса поставил около 0,7м, а клиренс не более 0,2м. Сама передняя ось, кажется, находится примерно в 0,8 м за передним бампером, а задняя ось находится на 3,7 м позади переднего бампера или на 1,5 м перед задним бампером. Я щедро размещу две трети массы в передней трети автомобиля (двигатель и все остальное), а остальную часть равномерно распределим в задних двух третях:

$$\frac{dm}{dx} = \frac{m_0/3}{5.2 \cdot 2/3}:x<\frac{2}{3}5.2$$

и

$$\frac{dm}{dx} = \frac{2 m_0/3}{5.2 \cdot 1/3}:x>\frac{2}{3}5.2$$

Теперь я нахожу момент инерции относительно реальной оси, пренебрегая тем, что масса может быть распределена немного выше высоты оси:

$$I=\int_0^{5.2} \frac{dm}{dx}(x-1.5)^2dx=5.87m_0$$

и крутящий момент силы тяжести

$$\tau =\int_0^{5.2} \frac{dm}{dx}(x-1.5)g\,dx=1.97m_0 g$$

Подставляя значения СИ, следует получить kg*m^2и kg*m^2/s^2единицы для первой и второй величины соответственно.

Поэтому, как только земля под передними колесами исчезнет, ​​мы можем ожидать, что автомобиль претерпит угловое ускорение$\ddot{\phi} = \tau/I = 3.29 rad/s^2$.

Поскольку клиренс несколько меньше, чем даже радиус колеса, мы хорошо справляемся с «маленькими» углами. Возьмите в точке транспортного средства$L$метров впереди задней оси. По истечении времени$t$это пройдет мимо$L\phi = L \ddot\phi t^2/2$. Если автомобиль движется со скоростью$v$, длина$L$дан кем-то$L_0-v t$где$L_0$это колесная база. Итак, нам нужно условие, что

$$(L_0-vt)\ddot\phi t^2/2<h$$

где$h$является клиренс. Это должно сохраняться до тех пор, пока$vt=L_0$. По сути, приведенное выше выражение (слева от отношения неравенства) показывает, насколько опустилась точка автомобиля непосредственно над уступом. Это кубическое выражение, но где-то оно явно имеет максимум. Дифференцируйте и найдите максимум, решив, это на$t=2L_0/(3v)$. Подставляя это значение, мы получаем ограничение:

$$\frac{2 \ddot \phi L_0^3}{27 v^2} < h$$

и решая неравенство находим$v>5.44 m/s$(или около 20 км/ч).

Я предоставляю любознательному читателю принять во внимание, что Ford Thunderbird — это заднеприводный автомобиль, который может развивать около 6000 Нм крутящего момента на задних колесах и имеет массу около 2200 кг. Этих данных достаточно, чтобы проверить, может ли двигатель удержать его от слишком быстрого переворота вниз с уступа и дать возможность съехать с обрыва на изначально более низкой скорости.

Ответ (без учета эффекта «маятника» между двумя осями):

 Velocity = sqrt(2 x Gravity) x wheelbase/ (sqrt (27 x clearance))

Я понятия не имею, что такое магия в 27, но это НЕ взлом; Я вывел это математически. Я записал вывод в документе Word, но я не понял, как загрузить документ или электронную таблицу, которую я использую для проверки результатов.

$$Velocity = \frac{{wheelbase*\sqrt{2*Gravity}}}{\sqrt{27*clearance}}$$

Передняя часть автомобиля опускается под действием гравитационного ускорения, поворачиваясь на задней оси, когда система движется вперед со скоростью . Когда падение спереди, умноженное на расстояние от задней оси до края обрыва, равно колесной базе , умноженной на клиренс (автомобиля) , автомобиль касается края обрыва в ОДНОЙ точке.

Если взять первую производную этого уравнения и приравнять ее к нулю, получится член для времени (t), который можно снова подставить в исходное уравнение, чтобы получить скорость , которая делает точку контакта (выше) максимальной для уравнения.

Для транспортного средства с колесной базой 10 футов и клиренсом в 1 фут критическая скорость составляет 15,40 фута в секунду (используйте 32 для гравитации). Нулевой зазор при t = 0,43.

Красивый (более реалистичный, более сложный) ответ Ллиама вдохновил меня снова попытаться загрузить объяснение МОЕГО ответа выше. Сходство между моим ответом и ответом Ллиама велико, и различия, по-видимому, объясняются тем, что он включил эффект маятника по отношению к задней оси. Большая разница в том, что его ответ использует колесную базу в степени 1,5 (квадратный корень из куба), а мой использует колесную базу в первом порядке (1).

Решение основано на геометрическом наблюдении, согласно которому падение передней части транспортного средства, умноженное на расстояние от задней части транспортного средства до края обрыва, равно произведению колесной базы на клиренс в тот момент(ы), когда днище транспортного средства только касается поверхности . край скалы или

Расстояние до края * Падение передней части = клиренс * колесная база DF = CW

Падение, умноженное на оставшееся расстояние, когда между днищем транспортного средства и краем обрыва есть пространство, всегда меньше, чем клиренс транспортного средства, умноженный на его колесную базу, поэтому точка, в которой два произведения точно равны, должна составлять максимальное значение. падения, умноженное на оставшееся расстояние. Если это произведение превышает произведение характеристик автомобиля, то край обрыва и автомобиль находятся в положительном контакте (помехи).

(Горизонтальное) расстояние до края равно колесной базе минус скорость , умноженная на время ; падение фронта равно ускорению свободного падения (G), умноженному на квадрат времени, деленному на 2. Подстановка этих выражений в приведенную выше формулу дает:

$$(wheelbase -(velocity * time)) * \frac{G * time^2}{2} = clearance * wheelbase$$ Решение этого уравнения для зазора дает: $$clearance = \frac{(G * time^2) * (wheelbase - velocity * time)}{2 * wheelbase}$$ Первая производная этого уравнения по времени равна $$\frac{dclearance}{dtime} = \frac{2G * time * wheelbase - 3G * time^2 * velocity}{2 * wheelbase}$$ Когда это выражение оценивается как ноль ( время >0) и меньше, чем время, за которое задние колеса преодолевают край обрыва, приведенное выше выражение зазора максимально.

Установка выражения первой производной выше равным нулю и решение для времени дает

$$clearance = \frac{2 * wheelbase}{3 * velocity}$$ Подстановка этого выражения для времени в приведенном выше выражении зазора дает $$clearance = \frac{2G * wheelbase^2}{27 * velocity}$$ Затем решение для скорости дает $$Velocity = \frac{wheelbase * \sqrt{2G}}{\sqrt{27 * clearance}}$$ что дает минимальную скорость для данной колесной базы и зазора , чтобы преодолеть край обрыва без контакта с днищем автомобиля.

Пример: транспортное средство с колесной базой 10 футов и дорожным просветом 1 фут должно двигаться со скоростью не менее 15,4 фута в секунду или 10,5 миль в час, чтобы преодолеть край обрыва без помех между краем обрыв и днище автомобиля.

В этом решении не учитывается боковое ускорение, которое фактически возникло бы при вращении транспортного средства на задней оси, что сравнимо с высвобождением маятника под углом 90 градусов. Это упущение смещает решения Velocity в сторону увеличения по мере увеличения отношения клиренса к колесной базе.

Мои извинения за использование имперских единиц. Мне 70 лет, и когда я работаю над своим 50-летним Corvair, я использую эти устройства. С другой стороны, при работе с моей Acura я использую только метрические единицы измерения. Thunderbird 1966 года от T&L также имел такие же размеры.