Способность подвешивать массу в воздухе

Question

Способность подвешивать массу в воздухе

фаджар

Какая мощность нужна, чтобы подвесить груз в воздухе?

Четыре части ниже посвящены одной и той же проблеме. Я публикую их все здесь, если есть какие-то тонкие вещи, которые я не видел.

Проблема с учебником

Учебник по физике для колледжа 9-го издания содержит в качестве примера задачу в главе об энергии (подробности убраны):

Кабина лифта («лифт») и ее пассажиры имеют массу 1800 кг и пренебрежимо малую силу трения во всех ее движущихся частях. Какую мощность должен развивать двигатель, чтобы поднять кабину лифта и пассажиров с постоянной скоростью 3,00 м/с? Ответ : Скорость постоянна, поэтому $a=0$ . Теперь пусть $F$ быть полной силой и $T$ быть сила, действующая на двигатель. Затем,

\sum Ф "=" Т - М г "=" 0 \Rightarrow Т "=" М г

$\sum F = T-Mg = 0 \qquad \Rightarrow \qquad T = Mg$ с мощностью = сила x скорость, тогда мы имеем

п "=" Т \cdot в "=" М г \cdot в

$P = T\cdot v = Mg \cdot v$

п "=" 1800 к г \cdot 9,8 м / с^{2} \cdot 3.00 м / с "=" 5.29 \times 10^{4} Вт

$P = 1800 \,kg\cdot9.8\,m/{s^2}\cdot 3.00\,m/s=5.29\times10^4\,{\textrm W}$ И какую мощность должен развивать двигатель в тот момент, когда скорость лифта

v

$v$ если двигатель предназначен для придания кабине лифта восходящего ускорения 1,00 м/с в секунду? Ответ : сейчас

a = 1.00 m / s^{2}

$a=1.00 \,m/{s^2}$ , а потом

\sum Ф "=" Т - М г "=" М а \Rightarrow Т "=" М (а + г) .

$\sum F = T-Mg = Ma \qquad \Rightarrow \qquad T = M(a+g).$ Действуя, как и раньше, имеем

п "=" Т \cdot в "=" М (а + г) \cdot в

$P = T\cdot v = M(a+g) \cdot v$

п "=" 1800 к г \cdot (1,00 + 9,8) м / с^{2} \cdot 3.00 м / с "=" 5,83 \times 10^{4} Вт .

$P = 1800 \,kg\cdot (1.00+9.8)\,m/{s^2}\cdot 3.00\,m/s= 5.83 \times10^4\,{\textrm W}.$ Это конец примера.

Мои вопросы . Мы могли бы также спросить их:

Какую мощность должен развивать двигатель, чтобы подвесить лифт и его пассажиров на постоянной высоте? То есть нулевая скорость? Конечно, это не может быть ноль, верно? Потому что в противном случае кабина лифта будет свободно падать. Но какая мощность требуется?
Какую мощность должен развивать двигатель в тот момент, когда скорость лифта $v=3.00$ (как и раньше), если двигатель предназначен для обеспечения движения кабины лифта вниз со скоростью 1,00 м/с в секунду?

Я искал ответ, но безрезультатно.

проблема с вертолетом

Это реальный вопрос, который мотивирует этот пост.

Меня попросил друг, который собирается построить модель вертолета. «Хорошо, у меня есть двигатель мощностью 2000 Вт для моей 50-килограммовой модели вертолета. При 100% КПД сможет ли он парить на высоте 1 м над землей хотя бы 1 минуту?»

Я не могу ответить на это.

«Хорошо, тогда какая минимальная мощность требуется двигателю, если я хочу, чтобы он плавал на высоте 1 м над землей, предполагая, что КПД равен 100%?»

Я спрошу у физики.

Проблема со шкивом

Это упрощенная версия двух вышеуказанных задач. Какая минимальная мощность, необходимая человеку с помощью веревки и блока, чтобы подвесить в воздухе груз массой 1 кг на высоте 1 м над землей в течение 1 с?

Проблема с таблицей или строкой

Здесь нет особых проблем. Подвесить над землей груз массой 1 кг на высоте 1 м? Простой. Положите его на стол или повесьте на веревке. Нет движения. Мощность не требуется.

Что тут происходит?

Никос М.

это домашнее задание?

фаджар

Нет, это не домашнее задание.

Ответы (3)

Способность подвешивать массу в воздухе

Флорис · Answer 1

Несколько мыслей, которые помогут вам на вашем пути.

Когда лифт движется, вам приходится совершать работу против силы тяжести. Вы изменяете потенциальную энергию системы. Чем быстрее движется лифт, тем больше работы требуется в единицу времени (потому что мощность = работа/время = сила * скорость). Если вы меняете скорость объекта, вы изменяете его кинетическую энергию: если он замедляется, он возвращает вам энергию; если он ускоряется, вам нужно дать ему больше энергии.

Если кабина лифта не движется, никаких РАБОТ выполнять не нужно. Вам по-прежнему нужна СИЛА - но вы можете завязать узел на кабеле и отключить питание: кабина лифта останется на месте, без электричества, без выделения тепла...

Пример с вертолетом другой. Единственная причина, по которой вертолет может зависнуть, заключается в том, что он толкает воздух вниз . Каждую секунду, пока он парит, ему нужно перемещать объем воздуха с определенной скоростью. В этом случае полезное уравнение

Ф Δ т "=" Δ п

$F\Delta t = \Delta p$

Изменение импульса воздуха говорит вам о силе, которую вы можете получить. Этого можно добиться, слегка перемещая большой объем воздуха или сильно перемещая небольшое количество воздуха. Обе ситуации дадут вам один и тот же импульс, но поскольку энергия пропорциональна квадрату скорости, более крупные лопасти будут более эффективными (до момента, когда сопротивление лопастей становится важным фактором).

Для решения поставленной вами задачи нужно знать размер лопастей вертолета. Делая некоторые действительно упрощенные предположения (в этом отсутствует по крайней мере фактор 2 - но просто для того, чтобы понять идею): если у вас есть лопасть вертолета, которая подметает область $A$ и толкает воздух плотности $\rho$ вниз со скоростью $v$ тогда сила

Ф "=" м \cdot в "=" (А р в) \cdot в "=" А р в^{2}

$F = m \cdot v = (A\rho v)\cdot v = A\rho v^2$

а необходимая мощность (кинетическая энергия воздуха, проталкиваемого вниз в секунду) равна

Е "=" \frac{1}{2} м в^{2} "=" \frac{1}{2} (А р в) в^{2} "=" \frac{1}{2} А р в^{3}

$E = \frac12 m v^2 = \frac12 (A \rho v) v^2 = \frac12 A \rho v^3$

Если мы предположим $A=3m^2$ (примерно 1 м радиус) и $\rho=1 kg/m^3$ , то для силы $500 N$ нам нужна скорость

в "=" \sqrt{\frac{Ф}{А р}} "=" \sqrt{\frac{500}{3}} "=" 13 м / с

$v = \sqrt{\frac{F}{A\rho}} = \sqrt{\frac{500}{3}} = 13 m/s$

и необходимая мощность

Е "=" \frac{1}{2} А р в^{3} "=" \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 13^{3} "=" 3.3 к Вт

$E = \frac12 A \rho v^3 = \frac12\cdot 3 \cdot 13^3 = 3.3 kW$

Это немного больше, чем 2 кВт, которые у вас есть. Решением было бы увеличить размер роторов — чем больше площадь, тем ниже скорость воздуха и тем лучше для вас.

Что касается шкива и струны или закрепленной струны — см. комментарии, которые я сделал по поводу лифта. Когда ничего не движется, работа не выполняется. В случае с вертолетом, хотя вертолет и не движется, его движут крылья (лопасти несущего винта), а также движущийся воздух (движение которого создает силу, необходимую для удержания вертолета в воздухе). .

Я надеюсь, что это проясняет ваше понимание.

это проясняет мое понимание дела с вертолетом. Я понимаю, что когда ничего не движется, работа не выполняется. Однако задача учебника не была сформулирована интуитивно. Можно довести предел скорости до нуля, и мощность действительно стремится к нулю. (Принятие ограничения также означает, что нельзя просто завязать узел, чтобы остановить его). В то время как, конечно, двигатель все еще выполняет некоторую [большую!] работу, чтобы поддерживать положение лифта. Более практичный вопрос: сколько электроэнергии необходимо (в ваттах), чтобы поднять лифт на 0,001 м/с. Есть ли какой-то инженерный трюк, который я пропустил здесь?
Если ваш двигатель работает с «нулевой скоростью», он будет потреблять ток, чтобы не вращаться, но большинство лифтов и т. Д. Имеют тормоз, который срабатывает, когда нет движения, поэтому для поддержания «нуля» не требуется ток. Двигаясь очень медленно, вы будете иметь значительные «удерживающие» потери, точно так же, как удерживание веса в руках утомляет вас, даже если вы «не выполняете работу». (В физическом смысле) Обычно эту проблему решают с помощью зубчатой передачи: двигатель может медленно управлять лифтом с относительно небольшим крутящим моментом и большим передаточным числом.
Твои юниты не работают... $A\rho v$ дает вам массу за время, а не силу (массовое расстояние за время времени). Тогда есть аналогичные проблемы для вашего уравнения энергии.
@ Рик, ты абсолютно прав, это было небрежно с моей стороны. Я исправил уравнение (я думаю). Спасибо, что указали на это!
Хорошо, теперь ваш ответ совпадает с моим с коэффициентом $\sqrt{2}$
@ Рик - еще раз спасибо. Опечатка поймана и исправлена. Я сказал в начале своего ответа, что «отсутствует по крайней мере фактор 2» ... поскольку фактический поток воздуха - это не просто цилиндр, движущийся вниз.
Да, именно в этом я и разобрался :)
@Floris, энергия измеряется в джоулях, а не в ваттах. Мощность = Вт = Джоуль/секунда
@VladK повсюду я говорю о энергии, необходимой в секунду. Я понимаю, что это было неуклюже - когда у меня будет минутка, я это исправлю. Спасибо.
@Floris, в E = 12Aρv ^ 3, как мы узнаем, каково значение v ^ 3?
@Lolums Я показал взаимосвязь между силой, площадью и скоростью. Когда вы выбираете два, вы можете вычислить (оценить) третий.

Ахметели · Answer 2

Что касается проблемы с вертолетом, то теоретически сколь угодно малой мощности может быть достаточно для плавания груза, если вы нагнетаете много воздуха с очень низкой скоростью. Однако для этого вам нужны более длинные и легкие (и, возможно, более широкие) лезвия, поэтому проблема, которую вам придется решить, заключается в прочности конструкции. Отмечу, что недавно был продемонстрирован мускульный вертолет ( http://en.wikipedia.org/wiki/Human-powered_helicopter ).

Потрясающая ссылка - не знал, что наконец-то выиграли приз Сикорского. Ух ты.
Да, классная ссылка! Это дает мне новый свет.
Обратите внимание на огромную площадь, выметаемую лопастями :)

Рик · Answer 3

Энергия требуется, чтобы толкнуть что-то на расстояние. В случае с лифтом, когда он не движется, можно задействовать тормоз и отключить питание, и лифт остановится. Это потому, что не нужно никакой энергии, чтобы удерживать что-то неподвижным.

Но подождите, если все, что я хочу сделать, это удерживать вертолет неподвижно, тогда он не требует никакой энергии?

Вроде, как бы, что-то вроде. Вы должны сохранять не только энергию, но и импульс. Гравитация придаст вашему вертолету нисходящий импульс с постоянной скоростью, которую он должен сбрасывать, чтобы оставаться неподвижным. В случае с лифтом, автомобиль передал импульс кабелю, который дал импульс зданию, которое передало его земле, которое передало его земле, что уравновешивается кучей других передач импульса, чтобы не было сети. движение.

В случае с вертолетом он должен передать этот импульс воздуху. На самом деле это довольно сложный процесс, но его можно аппроксимировать следующим образом:

Предположим, что лезвия покрывают площадь $A$ и что воздух движется вниз со скоростью $v_1$ с учетом повышения давления $\Delta p$ .

Теперь окружающий воздух находится под одинаковым давлением, поэтому эта разница давлений должна перейти в разницу скоростей по формуле Бернулли. Итак, назовем атмосферное давление $p_0$ , давление непосредственно над лопастями $p_1$ и давление под лопастями $p_2$

Теперь мы предполагаем, что воздух, поступающий сверху вертолета, начинается с незначительной скорости, а затем для того, чтобы разогнаться до $v$ в должен подвергнуться падению давления

п_{0} - п_{1} "=" \frac{1}{2} р в^{2}

$p_0-p_1=\frac12 \rho v^2$

А выходящий воздух в процессе возвращения к атмосферному давлению должен изменить скорость по уравнению

п_{2} + \frac{1}{2} р в^{2} "=" п_{0} + \frac{1}{2} р {в_{ф}}^{2}

$p_2+\frac12 \rho v^2=p_0 + \frac12 \rho {v_f}^2$

Где $v_f$ - конечная скорость воздуха, движущегося вниз.

Объединение этих уравнений дает:

Δ п "=" \frac{1}{2} р {в_{ф}}^{2}

$\Delta p = \frac12 \rho {v_f}^2$

По закону сохранения импульса мы знаем, что подъемная сила $L$ должен быть равен массовой скорости, умноженной на изменение скорости:

\dot{м} "=" А р в

$\dot m = A\,\rho\,v$

Δ в "=" в_{ф}

$\Delta v = v_f$

л "=" \dot{м} Δ в "=" А р в в_{ф}

$L= \dot m \Delta v = A\,\rho\,v\,v_f$

Мы также знаем, что подъемная сила должна быть равна разности давлений, умноженной на площадь:

л "=" Δ п А

$L = \Delta P \, A$

приравнивание

А р в в_{ф} "=" Δ п А

$A\,\rho\,v\,v_f=\Delta P \, A$

р в в_{ф} "=" Δ п

$\rho\,v\,v_f=\Delta P$

и из ранее

Δ п "=" \frac{1}{2} р {в_{ф}}^{2}

$\Delta p = \frac12 \rho {v_f}^2$

р в в_{ф} "=" \frac{1}{2} р {в_{ф}}^{2}

$\rho\,v\,v_f = \frac12 \rho {v_f}^2$

в "=" \frac{1}{2} в_{ф}

$v = \frac12 v_f$

Требования к мощности $W$ задаются как сила, действующая на воздух, через скорость.

Вт "=" л в

$W= L \, v$

Вт "=" л \frac{1}{2} в_{ф}

$W= L\,\frac12 v_f$

Вт "=" л \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2 Δ п}{р}}

$W= L\,\frac12 \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}}$

Вт "=" л \sqrt{\frac{Δ п}{2 р}}

$W= L\,\sqrt{\frac{\Delta P}{2\rho}}$

Вт "=" л \sqrt{\frac{л}{2 р А}}

$W= L\,\sqrt{\frac{L}{2\rho A}}$

Вт "=" \frac{л^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2 р А}}

$W= \frac{L^\frac32}{\sqrt{2\rho A}}$

Обратите внимание, что этот анализ предполагает идеальную эффективность, в то время как на самом деле я предполагаю, что эффективность лопастей вертолета составляет около 30%. Но масштабирование должно быть, по крайней мере, правильным. Потребность в мощности будет расти с весом в 1,5 раза и будет обратно пропорциональна длине лопастей.

Подстановка чисел

Поскольку вы не указали площадь для полета 50-килограммового вертолета с двигателем мощностью 2000 Вт, ему потребуются лопасти диаметром $D$

4 А "=" π Д^{2}

$4 A=\pi D^2$

Д "=" \frac{л^{\frac{3}{2}}}{Вт} \sqrt{\frac{2}{π р}}

$D= \frac{L^\frac32}{W}\sqrt{\frac2{\pi\,\rho}}$

Д "=" \frac{(г 50 к г)^{\frac{3}{2}}}{2000 г. Вт} \sqrt{\frac{2}{π 1,2 \frac{к г}{м^{3}}}} \approx 4 м

$D= \frac{(g \,50 kg)^\frac32}{2000W}\sqrt{\frac2{\pi\, 1.2 \frac{kg}{m^3}}}\approx 4 m$

Так что мое предположение было бы нет, модель вертолета не полетела бы, так как его лопасти, вероятно, не такие длинные.

Способность подвешивать массу в воздухе

фаджар

Проблема с учебником

проблема с вертолетом

Проблема со шкивом

Проблема с таблицей или строкой

Никос М.

фаджар

Ответы (3)

Флорис

фаджар

Флорис

Рик

Флорис

Рик

Флорис

Рик

Влад Касач

Флорис

Люсьен

Флорис

Ахметели

Флорис

фаджар

Рик

Рик

Подстановка чисел

Автомобиль уезжает со скалы (фильм «Тельма и Луиза»)

Может ли пушка на Луне попасть в Землю?

Распределение веса гранулированных свай

Метание предмета вокруг Земли. Является ли это возможным?

Будет ли объект падать на Солнце, если он не вращается вокруг Солнца?

Каково приливное воздействие Ио на Юпитер?

Прилагает ли оружие к выпущенной пуле достаточно силы тяжести, чтобы остановить ее?

Если бы у Луны оторвался большой кусок, осталась бы она заблокированной приливом?

Изменение гравитационного эффекта между Землей и Солнцем

7 миллиардов человек прыгают одновременно