Четные и нечетные состояния одномерной конечной потенциальной ямы

Я предполагаю, что ОП означает четный потенциал$V(x)~=~V(-x)$, например, конечный потенциал прямоугольной ямы$V(x) ~\propto~ \theta(|x|-a)$.

Тогда ответ на вопрос (v1) — Нет.

Набросок доказательства: в предположении, что$V$четно, гамильтониан

$$H= \frac{p^2}{2m}+V(x)$$ затем коммутирует с оператором четности $P$. Итак, операторы $H$и $P$можно одновременно диагонализовать. Таким образом, существует полный набор собственных состояний энергии, которые являются либо четными, либо нечетными. Давайте позвоним им $e_i(x)=e_i(-x)$и $o_j(x)=-o_j(-x)$, соответственно. Изначально ровное состояние

$$\psi(x,t\!=\!0)~=~\psi(-x,t\!=\!0)$$

следовательно, является линейной комбинацией только собственного состояния с четной энергией

$$\psi(x,t\!=\!0)~=~\sum_i c_i e_i(x).$$

Волновая функция

$$\psi(x,t)~=~\sum_i c_i e_i(x) \exp\left[-\frac{\mathrm{i}t E_i}{\hbar}\right]~=~\psi(-x,t)$$

остается четной функцией и в будущем$t$, и, следовательно, не может стать нечетным.