Система двух частиц

Для вопроса 1 все сводится к вероятности. У меня есть две различимые частицы,$a$и$b$. Плотность вероятности найти частицу$a$в$x_1$является

$$P_a (x_1)= \Psi_a(x_1) \Psi_a^*(x_1),$$ и у нас есть аналогичное выражение для частицы$b$в$x_2$. Плотность вероятности найти частицу$a$в$x_1$ и частица$b$в$x_2$это просто произведение плотностей вероятностей$P_a$,$P_b$. Плотность вероятности тогда $$\Psi(x_1,x_2)\Psi^*(x_1,x_2)=\Psi_a(x_1) \Psi_a^*(x_1) \Psi_b(x_2) \Psi_b^*(x_2)$$ Для любого комплексного числа сопряжение — это просто умножение на фазу: $$(a+b i)^*=e^{i\alpha}(a+b i)$$ $\alpha$зависит от$a$и$b$. Отсюда я могу написать $$\Psi(x_1,x_2)=\Psi_a(x_1) \Psi_b(x_2) e^{i\phi}$$ Но последняя фаза не имеет значения, поэтому вы получаете просто произведение отдельных волновых функций.

Для вопроса 2 мы снова вернемся к вероятности. Мы знаем, что не можем различать частицы$a$и$b$. Затем

$$\Psi(x_1,x_2)=e^{i\phi}\Psi(x_2,x_1)$$ Повторяя ту же формулу еще раз для$x_2,x_1$мы получаем $$\Psi(x_2,x_1)=e^{i\phi}\Psi(x_1,x_2)$$ . Подставив его в предыдущую формулу, мы получим $$\Psi(x_1,x_2)=e^{i\phi}\Psi(x_2,x_1)=e^{2i\phi}\Psi(x_1,x_2)$$ Это дает$e^{2i\phi}=1$или$e^{i\phi}=\pm1$. Поэтому$\Psi(x_1,x_2)=\pm\Psi(x_2,x_1)$. Таким образом, полная волновая функция либо симметрична (+), либо антисимметрична (-).

На последний вопрос: мы начинаем говорить, что$\Psi(x_1,x_2)$представляет собой линейную комбинацию$\Psi_a(x_1) \Psi_b(x_2)$и$\Psi_a(x_2) \Psi_b(x_1)$, поэтому мы можем написать

$$\Psi(x_2,x_1)=a\Psi_a(x_1) \Psi_b(x_2)+b\Psi_a(x_2) \Psi_b(x_1)$$ или эквивалент $$\Psi(x_2,x_1)=A[\Psi_a(x_1) \Psi_b(x_2)+e^{i\phi}\Psi_a(x_2) \Psi_b(x_1)]$$ Аналогично предыдущему вопросу получаем, что$e^{i\phi}$должно быть$+1$или$-1$. Выбор знака зависит от симметрии полной волновой функции (если частицы являются бозонами или фермионами).

Если состояние двух частиц является тензорным произведением двух одночастичных состояний, то волновая функция двух частиц является произведением двух одночастичных волновых функций.

Для неразличимых частиц экспериментальным фактом является то, что конечное состояние должно быть либо симметричным, либо антисимметричным относительно обмена координатами двух частиц.

Для первой части вашего вопроса вы можете проверить мой ответ здесь https://physics.stackexchange.com/a/566506/226827

Что касается вашей второй части вопроса о знаке минус, вы можете получить интуицию, взяв те же частицы, то есть x1 = x2

когда вы сделаете это, ваша волновая функция станет равной нулю, что является свойством фермионов, состоящим в том, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии.