Как и любое многообразие, псевдориманово многообразие пространства-времени в специальной или общей теории относительности является топологическим пространством, поэтому существует понятие открытых множеств (или, что то же самое, окрестностей), которое позволяет нам говорить о непрерывности, связности и т. д. Мы неявно используем эту структуру всякий раз, когда мы формулируем принцип эквивалентности как утверждение, что любое пространство-время «локально выглядит как пространство Минковского» — «локально» на самом деле означает «в очень малых окрестностях внутри многообразия». Эта точечно-множественная топологическая структура в некотором смысле даже более фундаментальна, чем что-либо, относящееся к метрике, потому что любое многообразие имеет такую структуру, независимо от того, псевдориманово оно или нет (или даже дифференцируемо).
Но что физически определяет эти открытые множества? Для риманова многообразия (или вообще любого метрического пространства) на практике мы всегда используем топологию, индуцированную метрикой. Но это не работает для псевдоримановых многообразий, потому что неопределенная метрическая сигнатура не позволяет ему быть метрическим пространством (в математическом смысле). Например, если я испускаю фотон, который «позднее» поглощается Галактикой Андромеды, то в физическом смысле конечные точки нуль-фотонной мировой линии «не бесконечно близки друг к другу», даже несмотря на то, что пространственно-временной интервал, разделяющий они равны нулю (например, мы могли бы, конечно, вообразить физическое поле, значение которого существенно меняется на нулевой траектории). Существует ли физический, координатно- и лоренц-инвариантный способ определения открытых множеств пространства-времени?
(Обратите внимание, что я не говорю о глобальной/алгебраической топологии пространства-времени, что является совершенно отдельной проблемой.)
Нет необходимости определять топологию многообразия из метрики. Хотя это хорошая особенность, топология многообразия определяется в первую очередь его атласом, который с физической точки зрения соответствует координатам. Пространство-время с набором координат будет иметь топологию, определяемую отображением открытых множеств из к коллектору через схему .
Однако, если хотите, в общей теории относительности есть некоторые вещи, которые определяют топологию пространства-времени.
Общей основой топологии пространства-времени является топология Александрова. Если ваше пространство-время строго причинно, топология Александрова эквивалентна топологии многообразия. Его основу определяет набор причинных бриллиантов:
Легко найти контрпримеры (топология Александрова просто и для гёделева пространства-времени), но если оно строго причинно, это вернет вам топологию многообразия.
Существует множество различных возможных способов определения многообразия, некоторые из которых не совсем эквивалентны, но все они эквивалентны для целей физики. Например, вы можете определить многообразие в терминах триангуляции.
Вы можете просто начать с многообразия, скажем, определенного с помощью триангуляции. Тогда у него есть определенная топология, и только после этого нужно заботиться о том, чтобы поставить на него метрику.
Если вы используете определение многообразия в терминах диаграммы с картами плавного перехода, то вы получаете топологию бесплатно из карт. Я думаю, что это, по сути, то, что говорит enumaris.
Но мы также должны уметь говорить об этих вещах независимо от координат. Метрика может просто существовать на многообразии, независимо от того, было ли многообразие когда-либо определено в терминах каких-либо координатных карт. Тогда я думаю, что вы все еще получаете топологию, индуцированную метрикой. Это связано с тем, что метрика определяет геодезические, а также определяет аффинные параметры вдоль этих геодезических. Итак, в вашем примере с отправкой фотона в галактику Андромеды фотон движется по геодезической, мы можем определить аффинный параметр, и мы можем сказать, что испускание и получение фотона не лежат в сколь угодно малой окрестности друг друга , потому что они лежат на конечном аффинном расстоянии.
Я не знаю «физически», что определяет открытые множества, поскольку открытые множества являются (афаик) чисто математической конструкцией, но то, что определяет открытые множества на пространственно-временном многообразии, — это просто открытые множества в . Открытые наборы в по определению отображается в открытые множества в многообразии. Таким образом естественным образом индуцируется топология многообразий.
Неопределенная метрика псевдориманова многообразия не позволяет ему быть метрическим пространством и, следовательно, использовать этот путь для определения топологического пространства.
Однако мы все еще можем ослабить аксиомы метрического пространства и по-прежнему иметь возможность определить топологическое пространство. В этом случае у нас есть определение псевдометрики, а затем построение топологии происходит так же, как и в обычном случае.
Математически более важная апория (отсутствующее, но важное свойство) состоит в том, что многообразия не обладают экспоненциальным свойством:
Если и являются многообразиями. Затем и являются многообразиями (первое — несвязное объединение, второе — декартово произведение). Однако, в то время как экспоненциальный существует как на множестве точек, так и на топологическом уровне, оно не столь многообразно. Есть много попыток обойти это, но метод, который, кажется, находит все большее распространение и который был впервые предложен Сурью и позже назван диффеологией, использует методы, вдохновленные теорией пучков.
тпаркер