Что физически подразумевает масштабная инвариантность или неинвариантность электромагнетизма?

Масштабная инвариантность теории означает, что если мы наблюдаем одно явление в одном масштабе (например, электромагнитную волну с длиной волны 400 нм), то можем ожидать, что подобные явления возможны и в любом другом масштабе: 400 м, 400 км и т. д. магнитное поле маленького магнита имеет точно такую ​​же форму, как и магнитное поле большего магнита той же формы, только измененного масштаба. Следует только помнить, что все соответствующие качества соответствующим образом масштабируются. EM масштабируется при преобразовании$x \mapsto b x$,$t\mapsto b t$, что означает, что при изменении масштаба пространственных измерений вам также необходимо соответствующим образом изменить масштаб времени. Это означает, что если вы рассматриваете волну, которая$b$раз короче в космосе, он также будет иметь$b$раз меньший период колебаний во времени и т. д. Так вы не только узнаете о существовании волн другой длины, но и сможете предсказать их свойства.

Отсутствие масштабной инвариантности означает, что наблюдение одного явления не гарантирует существования подобных явлений в других масштабах. Например, все атомы имеют одинаковый размер (который можно вычислить по массе и заряду электрона, а метровых или километровых атомов не бывает. С аннигиляцией электронов с антиэлектронами связано еще одно явление: фотоны, рождающиеся в процессы имеют фиксированные энергии (и длины волн).Есть и более тонкие эффекты, например, за счет создания виртуальных пар электрон-антиэлектрон фотоны способны взаимодействовать друг с другом, и сила этого взаимодействия зависит от их энергии/ длина волны.

То, что теория масштабно-инвариантна, грубо говоря, означает, что не существует какой-либо отдельной шкалы длины, что теория действует одинаково на всех шкалах длины.

Возьмем, к примеру, классический электромагнетизм. Одним из хорошо известных поведений является существование решений плоских волн, в которых электрическое поле имеет вид

$$E(t,x) \sim E_0\mathrm{Re}~e^{i(kx -\omega t)}$$ и есть связанное магнитное поле. Волновое число $k$связано с длиной волны$\lambda$волны через $$k = \frac{2\pi}{\lambda}.$$ Длина волны является характерной шкалой длины для такого рода явлений. Но в классической ЭМ существуют решения в виде плоских волн для всех значений$\lambda$. Все плоские волны действуют одинаково, независимо от того, насколько длинная или короткая их длина волны. В этом смысле классический ЭМ масштабно инвариантен.

Теперь в QED все по-другому. Энергия$\epsilon$фотона связано с его длиной волны через:

$$\epsilon = \hbar\omega = h f = \frac{hc}{\lambda}.$$ Если длина волны настолько мала, что $$\epsilon>2m_ec^2,$$ где$m_e$обозначает массу электрона, у этого фотона достаточно энергии, чтобы создать пару электрон-позитрон. Если он столкнется с другим фотоном со сколь угодно малой энергией, есть шанс, что в результате столкновения выйдут электрон и позитрон. Итак, в КЭД фотоны разных длин волн делают разные вещи. В этом смысле теория не является масштабно-инвариантной.