Последствия нарушения масштабной инвариантности для задач с внутренней шкалой длины или времени?

Да, электромагнетизм без источников (то есть зарядов) масштабно-инвариантен.

Это видно также из того, что если плоская волна с волновым числом$k$и угловая частота$\omega$является решением, то и плоская волна с волновым числом$ak$и частота$a\omega$, для любого постоянного действительного числа$a$. В одном пространственном измерении$\exp[i(kx-\omega t)]$это решение для любого$\omega$и$k$такой, что$\omega/k=1$(т. е. скорость света), где мы используем$c=1$. А масштабная симметрия тогда просто говорит, что любая такая волна является решением, пока$\omega/k=1$, с$a\omega/ak = 1$также. И поскольку это так, то же самое верно для любой линейной суперпозиции плоских волн, каждая из которых движется со скоростью света. Таким образом, мы можем формировать произвольные волны (с некоторыми разумными математическими ограничениями), и пока составляющие плоские волны имеют скорость света, произвольная волна также будет иметь скорость света и удовлетворять уравнениям электрического или магнитного поля (или электромагнитным волнам, с$\mathbf E$и$\mathbf B$перпендикулярно, что требует большего, чем эти два уравнения.

Масштаб отсутствует, потому что масштаб для пространственной составляющей и временной составляющей должен быть одинаковым, когда единственным ограничением является скорость света. Для источников теперь это может быть иначе: диполь определенной длины будет источником или приемником для электромагнитных полей, спектр которых преимущественно имеет максимум на длинах, связанных с длиной антенны, а также с соответствующими частотами и их гармониками. Мы ввели шкалу длины. В большинстве или во всех источниках будут представлены масштабы длины и/или времени.

Как указано в статье в Википедии, и это легко показать, КЭД без зарядов (то есть источников или поглотителей) также не зависит от масштаба. Это верно, потому что фотон не имеет массы. В квантовой теории поля без массы поле без источника масштабно-инвариантно. Его излучение масштабируется как$1/r$для поля (т.е. амплитуды). В линейном приближении классической общей теории относительности волны также распространяются со скоростью$c$и иди как$1/r$по амплитуде. Квантом поля является до сих пор необнаруженный гравитон (хотя принятой теории квантовой гравитации до сих пор не существует.

Точно так же и для других квантовых полей, если они не имеют массы, они будут масштабно-инвариантными; примером может служить скалярное безмассовое поле Клейна-Гордона. Как только массовый член вводится с введением$m^2$в уравнении оно больше не является масштабно-инвариантным, и поле экспоненциально убывает с$m$как шкала.