Электрическое поле в однородном переменном во времени магнитном поле

Предположим, что однородное магнитное поле Б → в вакууме, меняющемся со временем, но всегда указывающем в г -направление. Это вызывает завихрение в электрическом поле. ∇ → × Е → "=" − ∂ Б ∂ т , который также однороден в пространстве и указывает на г -направление. Если мы вычислим интеграл от этого на горизонтальной петле, мы получим ненулевую ЭДС через петлю, а это означает, что горизонтальное электрическое поле должно быть ненулевым, по крайней мере, в части пространства. Из-за трансляционной симметрии можно утверждать, что если Е → отличен от нуля в одной точке, он должен быть отличен от нуля везде. Более того, она должна иметь везде одинаковое значение, что абсурдно, поскольку это означало бы, что ротор равен нулю везде, как и ЭДС.

Где ошибка в рассуждениях?

Неужели совершенно однородное переменное во времени магнитное поле несовместимо с уравнениями Максвелла? Или это как-то связано с инвариантностью Лоренца/Пуанкаре, являющейся правильной симметрией системы?

Моей первой мыслью было, что поле не может быть однородным и зависимым одновременно, потому что для распространения изменения в поле требуется время, но я хотел бы получить более подробный и/или математический ответ, если это рассуждение верно. правильный.

Похожие вопросы: 1 , 2
Главным в этих других вопросах, по-видимому, являются граничные условия и постоянная плотность заряда, подразумевающая постоянное электрическое поле - постоянное электрическое поле, подразумевающее нулевую плотность заряда, противоречие. Проблема здесь также в границах? Если мы установим это Б → ( т ) "=" ф ( т ) г ^ для некоторых ф , и выбрал границы с ты р л ( Е → ) "=" − ф ( т ) ˙ г ^ на бесконечности, разве это не дает достаточных условий для решения дифференциальных уравнений?

Ответы (2)

Основная причина, по которой этот аргумент дает противоречивые результаты, как предполагают комментарии, заключается в граничных условиях. Вообще говоря, принятие областей за бесконечные при изучении дифференциальных уравнений приводит к «плохо ведущим» функциям - разрывы, дельты Дирака и другие недифференцируемые объекты легко получаются при дифференцировании функций, которые живут в бесконечных областях. (Классическим примером является ∇ 2 1 р "=" − 4 π дельта 3 ( р → ) ).

По сути, проблема в том, что решение дифференциального уравнения на самом деле не является функцией . Как правило, они не обладают тем свойством, что вы можете оценить их в какой-то момент, поэтому попытки подумать о том, какова ценность решений, всегда будут приводить к запутанным результатам. В этом случае, чтобы решить вашу проблему, нам нужно такое электрическое поле, что ∇ × Е "=" − ф ′ ( т ) г ^ , или скорее

∂ у Е Икс − ∂ Икс Е у "=" ф ′ ( т )

Во-первых, обратите внимание, что решение для Е не уникален - добавление любого безвихревого поля Ф → к электрическому полю глобально не меняет это уравнение. Одно решение Е → ( 1 ) "=" Икс ^ у ф ′ ( т ) - в этом нет ничего плохого, но помните, что Е → ( 2 ) "=" − у ^ Икс ф ′ ( т ) . так же хорошо.

Это небольшая проблема, так как электрические поля могут быть непосредственно измерены, например, с помощью пробного заряда. Чтобы решить, какое из этого бесконечного множества решений является физическим, вам нужно указать граничное условие для электрического поля.

Однако вы все равно можете получить физические результаты без указания граничных условий. Посмотрите на интегральную форму уравнений Максвелла, где все скалярные расходимости и дельты Дирака были неявно проинтегрированы.

∮ ∂ С Е → ⋅ г л → "=" − ∂ ∂ т ∬ С Б → ⋅ г А → "=" − ф ′ ( т ) А ⊥

Где А ⊥ определяет площадь поперечного сечения поверхности С то есть «лицом к лицу» г ось.

Тогда у нас есть четкий результат: сигнал переменного тока, который будет принимать проводная петля, является прямой мерой производной по времени от ф , усиленный площадью А ⊥ . Это соответствующая физика.

Ни одна из этих проблем не возникает, если вы сохраняете свою систему зарядов и токов конечной, так что решения, которые вы получаете, четко определены и имеют физический смысл.

Из-за трансляционной симметрии можно утверждать, что если Е → отличен от нуля в одной точке, он должен быть отличен от нуля везде.

Не можем, потому что ничего не знаем о трансляционной симметрии электрического поля в этой системе. Система не описана достаточно подробно. Например, мы не знаем, где заряды.

Мы знаем только магнитное поле в деталях. Однако из уравнений Максвелла мы можем вывести некоторые ограничения на электрическое поле. Для вихря электрического поля имеем

∇ × Е "=" − ∂ Б ∂ т
что известно, а для скорости изменения электрического поля (в предположении, что нигде нет тока) имеем

1 с 2 ∂ Е ∂ т "=" с 2 ∇ × Б "=" 0

так как магнитное поле однородно.

Итак, электрическое поле постоянно во времени, и мы знаем, что его ротор отличен от нуля. Но из этого мы не можем вывести Е уникально. Существует бесконечное множество действительных электрических полей, удовлетворяющих этим условиям, и эти поля не обязательно обладают упомянутой трансляционной симметрией.

Может быть, совершенно однородное, изменяющееся во времени магнитное поле противоречит уравнениям Максвелла? Или это как-то связано с инвариантностью Лоренца/Пуакарре, являющейся правильной симметрией системы?

Нет и нет.

Моей первой мыслью было, что поле не может быть однородным и зависящим от времени одновременно, потому что для распространения изменения в поле требуется время...

Математически магнитное поле может быть как однородным, так и зависящим от времени. На самом деле мы не знаем такой системы и не надеемся когда-либо найти ее - все системы магнитного поля имеют поле, изменяющееся в пространстве и затухающее по мере удаления от источников.

Бесконечное однородное магнитное поле — это частный математический случай, а не реальное электромагнитное поле.

Электрическое поле в однородном переменном во времени магнитном поле
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v