Что говорит нам третий закон термодинамики?

Вывод правильный.

Это доказывает, что ни одно вещество при T = 0K не может быть идеальным газом, как и любая другая система, которую вы можете иметь в виду, статсумма которой не имеет правильного предельного поведения.

Действительно, все известные материалы являются твердыми или жидкими при достаточно низкой температуре.

Но это не обязательно должен быть и совершенный кристалл: действительно совершенные кристаллы макроскопических размеров очень редки, и сколько бы вы ни охлаждали несовершенный кристалл, вы никогда не сможете превратить его таким образом в совершенный кристалл.

Из-за формулы$S=kB\log \Omega$, третий закон фактически говорит, что$\Omega=1$при нулевой температуре, т. е. система при нулевой температуре обязательно находится в чистом квантовом состоянии, тогда как системы при положительной температуре всегда находятся в смешанном состоянии. По этой причине абсолютный нуль недостижим, поскольку квантовая динамика подразумевает, что никогда нельзя очистить макроскопическую систему от всех примесей.

Математическая формулировка третьего закона такова: если уравнения состояния

$$T=f(p,V), \quad S=g(p,V)$$ для двух функций $f$и $g$двух переменных, и мы решаем их, чтобы получить $S$как функция $p$и $T$, то результирующая функция $S=h(p,T)$обладает тем свойством, что для каждого $p$, $\lim_{T\to 0}h(p,T) = 0$. Для простых моделей (например, идеального газа и газа Ван-дер-Ваальса) эти вычисления можно выполнить вручную, и в результате, как предполагается в запросе, закон не работает. Любопытно, что в литературе мы не встречали проведения этих расчетов и, более того, не встретили там ни одной модели, удовлетворяющей третьему закону. Однако есть небольшое возмущение закона идеального газа, которое имеет место, а именно, если мы предположим, что изотермы имеют вид $p^aV^b=const$и адиабаты $p^cV^d=const$для подходящих индексов — идеальный газ — это, конечно, тот случай, когда $a=b=c=1$, то элементарное, но довольно утомительное вычисление показывает, что $$S=\frac 1 {\sqrt J}\left ( \frac 1 {a-b-J+1}\right )p^{c(a-b-J+1)}\left (\sqrt J T(d-c-J+1) p^{-a(d-c-J+1}\right )^\frac 1{b(d-c-J+1)}$$ где $J=ad-bc$. Мы представили эту формулу во всех ее кровавых подробностях, чтобы показать, что лежащий в ее основе метод не совсем поверхностен, но важным моментом является то, что зависимость $S$на $T$является степенным законом и поэтому при подходящем выборе индексов будет удовлетворять закону Нернста. Если мы выберем $b$почти, но не совсем равно $a$мы получим малое возмущение идеального газа, удовлетворяющее третьему закону. Мы не утверждаем, что это реалистичная модель для любого реального термодинамического вещества, хотя тот факт, что при очень высоких давлениях фактор $p$в законе Бойля может быть лучше смоделирована нетривиальной силой, которая не кажется внутренне невероятной.

Модель, использованная выше, была представлена ​​в статье arXiv 1102.1520, где объясняются методы, использованные для вышеуказанных вычислений.

Ну да, для модели идеального газа,$pV=Nk_BT$, ты ищешь

$$U=\frac{3}{2}Nk_BT\propto T,$$

и

$$C_V=\left(\frac{∂U}{∂T}\right)_V=\frac{3}{2}Nk_B=\text{const}.$$

Это само по себе является нарушением третьего закона .

Что это говорит нам? Длительное обсуждение в комментариях к этому вопросу может помочь вам понять проблему.

Я не слишком хорош в статистической термодинамике, но я думаю, что ваша ошибка заключается в предположении, что энтропия IG равна нулю при нуле K. Третий закон гласит, что S идеально кристаллического твердого тела равна нулю при нуле K. Чтобы получить энтропию IG при ноль К, вам придется преобразовать твердое тело в жидкое и в газообразное, и эти процессы будут иметь энтропию. Идеальный газ при 0К нельзя рассматривать как идеальное кристаллическое твердое тело (даже тысячи молекул стационарны), так как молекулы распределены неравномерно. По иронии судьбы, это следует из самого определения IG. Поскольку внутримолекулярных сил нет, положение одной частицы не влияет на положение других. Таким образом, у нас все еще есть степень случайности, то есть распределение частиц.

Википедия говорит, что концепция IG не работает при низком значении V/N (последний абзац раздела энтропии). Думаю, это тоже работает.