Множественность против функции разделения

Похоже, они могут быть родственниками. Каковы отношения?

Из ваших двух уравнений имеем

$$k\ln \Omega = k \ln Q + kT\frac{\partial}{\partial T} \ln Q = k \ln Q + \frac{kT}{Q}\frac{\partial}{\partial T}Q$$

но

$$Q = \sum_ie^{-\frac{E_i}{kT}}$$

и так

$$k\ln \Omega = k \ln Q + \frac{kT}{Q}\frac{1}{kT^2}\sum_i E_ie^{-\frac{E_i}{kT}} = k\left(\ln Q + \frac{1}{kT} \langle E \rangle \right)$$

Разделив на$k$и возведение в степень обеих сторон дает:

$$\Omega = Qe^{\frac{\langle E \rangle}{kT}}$$

В пределе, что$T\rightarrow\infty$, статистическая сумма и кратность состояний равны.

Почему? Ну, у нас есть это$Q=\sum_{i} e^{-E_i/kT}$, где$i$индексирует все возможные микросостояния. Если$T\rightarrow\infty$, все эти больцмановские множители приближаются к единице, и мы имеем$Q=\sum_i 1=\Omega$.

Можно подумать, что в пределе$T\rightarrow\infty$две формулы, которые вы привели выше, сильно расходятся, поскольку есть дополнительный член, пропорциональный$T$во второй формуле. Но если вы сделаете производную явно, вы обнаружите, что$\frac{\partial \ln(Q)}{\partial T}$пропорциональна$\frac{1}{T^2}$, так что член$kT\frac{\partial \ln(Q)}{\partial T}$стремится к нулю, как$T\rightarrow\infty$.

Здесь важен малоизвестный факт. Энергии микросостояний указываются только с точностью до произвольной аддитивной константы (как и для всех энергий, которые всегда относятся к нулю энергии). Например, в статистической механике принято ссылаться на все энергии микросостояний относительно энергии микросостояния с наименьшей энергией. Постоянная энергия может быть добавлена ​​или вычтена из всех энергий микросостояний без изменения вероятностей микросостояний:

$$\begin{align} \require{cancel} E_i' &= E_i - C \\ p_i &= \frac{e^{-\beta E_i'}}{\sum_s e^{-\beta E_i'}} = \frac{e^{-\beta (E_i-C)}}{\sum_s e^{-\beta (E_i-C)}} = \frac{e^{\beta C} e^{-\beta E_i}}{\sum_s e^{\beta C} e^{-\beta E_i}} = \frac{\cancel{e^{\beta C}} e^{-\beta E_i}}{\cancel{e^{\beta C}} \sum_s e^{-\beta E_i}} \end{align}$$

Теперь, как утверждает Альфред Центавр, кратность и статистическая сумма связаны соотношением:

$$\Omega = Qe^{\beta \langle E \rangle}$$

Однако если нормировать энергии микросостояний так, чтобы средняя энергия$\langle E' \rangle = 0$($E_i' = E_i - \langle E \rangle$), у нас есть:

$$\Omega = Q$$

точно.