Что именно находит линейный интеграл электрического поля по замкнутому контуру?

Без существования магнитного поля,$\oint{\vec{E}\cdot d\ell=0}$всегда верно.

Ваша ошибка в том, что вы не учитываете краевой эффект плоского конденсатора. Как на картинке вы можете видеть,

при приближении к краю параллельных пластин нельзя пренебрегать горизонтальной составляющей электрического поля. С учетом этого эффекта вы можете иметь два разных электрических поля, и закон консервативного электрического поля остается верным.

Вы создали векторное поле, которое не может быть электростатическим полем. Это потому что$\oint \mathbf E \cdot \text d\mathbf l \neq 0$для поля.

Если вы хотите быть более осторожным с вашей настройкой, конечные линии заряда имеют окаймляющие поля, которые выходят за пределы линий заряда. Если бы вы приняли это во внимание, то получили бы интеграл нулевой линии.

Рассмотрим гладкое векторное поле$\mathbf{E}:\Bbb{R}^3\to\Bbb{R}^3$формы$\mathbf{E}(x,y,z)= f(x,z)\,\mathbf{e}_y= (0,f(x,z),0)$. Теперь, интегрируя по прямоугольной петле, подобной вашей (лежащей внутри плоскости постоянного$z$) находим, что

Так что если$E_1\neq E_2$тогда RHS отличен от нуля, что доказывает для вас, что такое векторное поле$\mathbf{E}$НЕ является консервативным.

Чтобы ответить на ваши два вопроса явно:

1. Если вы возьмете электростатическое поле (которое в значительной степени консервативно по определению «электростатическое») и проинтегрируете по замкнутому контуру, то результат всегда будет равен нулю. Следовательно, тривиально верно, что разность потенциалов (которая хорошо определена из-за консервативности поля) между точкой$A$и точка$A$является$0$.

2. «Вы никогда не сможете создать два разных электрических поля…» Вы должны быть очень осторожны с формулировками. Правильное утверждение: «гладкое векторное поле вида$\mathbf{E}(x,y,z)=f(x,z)\,\,\mathbf{e}_y = (0,f(x,z),0)$(где$f$является непостоянной функцией$x$) не является консервативным и, следовательно, не возникает в результате действия электростатического поля».

Причина, по которой вы запутались, в том, что вы позволили рисунку обмануть себя. Кажется, вы нарисовали два конденсатора с параллельными пластинами, что является типичным примером конфигурации заряда, создающей постоянное поле в направлении, нормальном к пластинам. Однако вы должны иметь в виду, что это верно только в том случае, когда пластины имеют бесконечный размер (поэтому мы, конечно, не можем иметь два набора таких «бок о бок»).

В случае, который вы нарисовали, есть два параллельных пластинчатых конденсатора конечного размера. В этом случае электрическое поле НЕ имеет специального вида$\mathbf{E}(x,y,z)= (0,f(x,z),0)$, что ошибочно предполагается на чертеже. Правильное поле выглядит очень сложным. Ниже я нашел изображение, которое примерно показывает, как выглядят силовые линии для одного конденсатора с параллельными пластинами.

Как видно из самого рисунка, это векторное поле имеет$\mathbf{e}_x$компонент, а также$\mathbf{e}_z$компонент (вопреки тому, что предлагает ваш упрощенный рисунок).

Если вы рассмотрите два из них и разместите их на расстоянии друг от друга (скажем, на расстоянии 10 метров), то я уверен, что вы можете себе представить, что линии поля чрезвычайно сложны. Аналитическое вычисление таких линейных интегралов, конечно, почти невозможно, но это вопрос эксперимента (и, следовательно, теории), что такие поля консервативны, поэтому петлевой интеграл всегда$0$.

Чтобы векторы электрического поля были нормальными, как вы это показали, необходимо, чтобы пластины конденсатора считались бесконечно большими.

Это приведет к тому, что две тарелки, которые вы показали разделенными в пространстве, будут по существу частями этой идеальной большой тарелки, рассматриваемой для получения формулы.

Вы можете попытаться сохранить разную плотность заряда в разных частях этой математической пластины, но в электростатическом случае она в конечном итоге будет перераспределена так, что поле внутри металла будет равно нулю.

Поэтому никакого противоречия.

Другой способ увидеть это — попытаться изобразить потенциал. Область между каждой парой пластин достаточно однородна, одна намного круче другой, но поле в области посередине плавно их соединяет. Потенциал на любом пути в плоскости идет вверх и вниз, но подъемы должны быть равны низам вокруг любой петли.

Электрическое поле — это градиент потенциала, вы можете думать о нем как о чем-то вроде$d\phi/dl$по мере продвижения по линии. То есть,$E\cdot dl$это величина, на которую поверхность поднимается или опускается при перемещении на расстояние по траектории. Это должно быть равно нулю вокруг любой петли, так как вы должны закончить на той же высоте, на которой вы начали, но нет противоречия с тем, что разные части линии имеют разные градиенты. Проблема заключается в использовании приближения однородного поля за пределами его области действия.