Всегда ли электрический потенциал непрерывен?

В электромагнетизме мы говорим, что любое консервативное электрическое поле Е → ( р → ) связан со скалярным потенциалом В ( р → ) такой, что Е → ( р → ) "=" − ∇ В ( р → ) . Если электрическое поле непрерывно, соответствующий электрический потенциал должен быть дифференцируемым, потому что в противном случае его градиент нельзя было бы вычислить везде.

Однако в некоторых случаях электрическое поле прерывисто, что приводит к недифференцируемому электрическому потенциалу. Однако последний остается непрерывным.

Почему это? Почему даже когда электрическое поле прерывисто, электрический потенциал не прерывист? Должен ли электрический потенциал всегда и везде быть непрерывным? Я ищу математический подход (т.е. не только качественное понимание).

Вы говорите, что потенциал «должен быть дифференцируем», а также что в некоторых случаях он «недифференцируем».
@ G.Smith Я хотел сказать, что оно должно быть дифференцируемым, если электрическое поле непрерывно. Я отредактирую ОП.

Ответы (1)

Нет. Например, потенциал точечного заряда разрывается в месте расположения точечного заряда, где потенциал становится бесконечным.

Поскольку все заряды в природе кажутся точечными (элементарные частицы, такие как электроны и кварки), электрический потенциал всегда где-то имеет разрывы. Когда мы работаем с непрерывным распределением заряда, мы просто используем аппроксимацию, которая усредняет множество точечных зарядов и стирает разрывы в их плотности заряда, потенциале, поле, плотности энергии поля и т. д.

А как же первый вопрос? «Почему даже когда электрическое поле прерывисто, электрический потенциал — нет?»
Это неправда. В случае точечного заряда, о котором я говорил, и поле, и потенциал разрывны.
Разве электрическое поле в этой точке не бесконечно? Я хочу понять, почему электрический потенциал непрерывен, когда электрическое поле показывает конечные разрывы.
Изменение потенциала между двумя точками представляет собой линейный интеграл поля между этими точками. Предположим, что поле имеет где-то конечный разрыв. Возьмите два очка ϵ от разрыва и вычислить линейный интеграл, который будет состоять из двух конечных частей. Как ϵ → 0 , этот линейный интеграл стремится к нулю, поэтому изменение потенциала на конечном разрыве равно нулю, поэтому потенциал там непрерывен.
Всегда ли электрический потенциал непрерывен?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v