Разность потенциалов между точкой на поверхности и точкой на оси равномерно заряженного цилиндра

Все приведенные выше ответы верны, хотя ни один из них не дает вам ответа на вопрос, ПОЧЕМУ вам НЕ следует использовать сферу, и ни один из них не решает вашу проблему «бесконечной гауссовой поверхности», и вы, кажется, немного смущены тем, как все на самом деле работает (вы должны понять как все работает, прежде чем углубляться в математическую часть).

Итак, если вы используете сферу, то интеграл в законе Гаусса будет непростым, потому что большинство векторов электрического поля не будут перпендикулярны (и, таким образом, вы можете получить$E$вне интеграла). Вы просто не используете симметрию системы.

Вы должны использовать свою интуицию, чтобы догадаться, куда направлены векторы электрического поля (здесь — цилиндрически наружу, потому что у вас бесконечный цилиндр), поэтому вы должны использовать цилиндр. Подумайте о симметрии источников, чтобы выяснить симметрию полей.

Теперь о вашей бесконечной гауссовской проблеме поверхности: вам нужно только создать гауссову поверхность конечного размера, потому что закон Гаусса дает вам ЧИСТОЕ (общее) электрическое поле, созданное из всего его окружения, на одной стороне уравнения (в интеграл), но вы можете найти его только по вложенному заряду (другая часть уравнения). Итак, у вас не должно быть бесконечной гауссовой поверхности.

На самом деле, использование цилиндра для поверхности Гаусса — лучший подход. Тот факт, что площадь бесконечна, не должен иметь значения, если вы выражаете бесконечную длину цилиндра как переменную, скажем$l$. Отметив, что площадь поверхности Гаусса,$A = 2\pi Rl$, и что$Q = \rho l$,$l$срок должен в конечном итоге отменить в вашей разработке.

Как сказал Eternal Code, использование цилиндра внутри исходного проблемного цилиндра — правильный подход. Если вы воспользуетесь законом Гаусса, то обнаружите, что электрическое поле внутри бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра равно

Теперь, чтобы вычислить разность потенциалов между поверхностью и осью цилиндра,

Это дает разность потенциалов между поверхностью и осью цилиндра как

По закону Гаусса,

$E\cdot A=\frac {q}{\epsilon_0}$(при условии, что электрическое поле постоянно$dA$и что он всегда параллелен$dA$, что в данном случае)

Определим заряд, содержащийся в исходном цилиндре задачи, как$Q$тогда как заряд в меньшем цилиндре Гуасса как$q$.

Следовательно, заряд в меньшем цилиндре Гуасса зависит от соотношения объемов двух цилиндров из-за равномерного распределения заряда:

Это упрощает до

Также мы знаем, что$Q=ρV=ρπ(R^2)L$

Подставляя это, мы получаем

Отмена сверху и снизу дает нам ответ