Что означает объем динамической системы

https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_system объясняет, что объем пространства состояний или фазового пространства неизменен. Конспект лекции «11 странных аттракторов и дим Ляпунова». взятое из книги Строгаца, показывает в уравнении (2) преобразование координат объема. Я хочу понять, означает ли приведенное в заметке доказательство, что объем систем со странным аттрактором инвариантен относительно какого-то преобразования, например преобразования координат. Путем преобразования координат мы можем сгенерировать реконструкцию фазового пространства и, используя ее, получить странный аттрактор . При правильном выборе настройки параметров хаотической динамической системы мы можем увидеть странное. Но я не могу понять доказательства.

Вопрос: Кто-нибудь может показать, как доказать, что объем для систем со странными аттракторами инвариантен к преобразованиям, и что это значит.

Уменьшается или расширяется объем странных аттракторов?

ОБНОВЛЕНИЕ: 18 августа

Исходя из обсуждения под комментариями, это то, что я мог написать из того, что я мог понять. Будем признательны за помощь в элегантном завершении корректуры.

Доказательство: объем странного аттрактора, проявляемый системами в хаотической динамике, инвариантен относительно некоторых преобразований и является мерой или метрикой.

Моя идея в том, что пусть н а быть размерностью аттрактора и д — размерность вложения, а аттрактор имеет объем в с аттракторной размерностью н а . Если доступны скалярные временные ряды, то мы можем реконструировать аттрактор в д размерное фазовое пространство методом вложения задержки Такенса, д ≥ 2 н + 1 где н – размерность наблюдаемой системы. Мы не знаем реальной стоимости н а . Поскольку для объема диссипативных систем в ≤ 0 , если и только если н ≤ н а , и равна нулю, так как его размерность меньше н а . Поэтому любая диссипативная система сохраняет объем аттрактора, который равен нулю. Что касается замены координат, то, поскольку аттрактор является множеством нулевой меры, образ аттрактора при любом гладком отображении также будет иметь нулевую меру.

Как мне теперь доказать, что аттрактор — это мера множества, равная нулю, и метрика, подобная мере Лебега? Может ли кто-нибудь помочь в официальном написании этого доказательства? Спасибо.

«Объем» появляется только в разделе «Эргодические системы» цитируемой страницы. В этом разделе также есть «Для систем, в которых объем сохраняется потоком», что указывает на то, что объем пространства состояний не обязательно должен быть неизменным. (Большинство диссипативных систем нарушают объемную инвариантность.) Этот раздел ссылается на « Эргодическую теорию », в которой есть раннее предложение «Пусть Т : Икс → X — преобразование, сохраняющее меру на [пространстве состояний]», что немедленно приводит к инвариантности объема. Намерены ли вы ограничиться эргодической динамикой или обсудить общую динамику?
Меня интересует объем систем, которые порождают странные аттракторы, такие как хаотические системы. В этом случае объем будет уменьшаться или изменяться. Так является ли такой объем инвариантным?

Ответы (2)

Пара вещей:

  1. Обратите внимание на примечание к уравнению 2:

У диссипативных систем есть аттракторы, а у систем с сохранением объема не может быть ни аттракторов, ни отталкивателей.

Это верно в том смысле, что «объем» означает меру Лебега, т. е. нормальное определение объема на р н . Аттракторы обязательно имеют меньшую размерность, чем само фазовое пространство, поэтому его объем (в смысле Лебега) должен быть равен 0; например, объем поверхности в р 3 равен 0, так как поверхность двумерная. Может быть, это сохранение объема тривиально, потому что аттрактор обязательно имеет нулевой лебеговский объем.

Так что это, кажется, отвечает на ваш вопрос на первый взгляд. Однако динамика странных аттракторов, как правило, эргодична , и это раздел, который вы читаете в первой статье в Википедии. Эргодическая динамика обычно имеет то, что называется инвариантной мерой , что означает, что существует некоторое понятие объема (мера), которое сохраняется динамикой (инвариант). Поэтому, если можно параметризовать аттрактор, т. е. найти замену координат от р н к аттрактору, то «объем» в смысле инвариантной меры аттрактора и динамики действительно сохранится.

Спасибо за ответ. Не могли бы вы прояснить 3 вещи? (1) исходя из моего понимания, если д - размер встраивания (с использованием Takens Embedding), тогда д >= 2 н + 1 . Итак, аттрактор построен в н пространство, но может быть построено во встроенном фазовом пространстве д если размер вложения выбран правильно. Правильно ли я понимаю? (2) объем странного аттрактора остается постоянным? (3) Приводится ли в лекции доказательство инвариантности объема странного аттрактора при замене координат? Не могли бы вы предоставить его, если его нет в примечании. Это будет очень полезно.
1. Да 2. Да (либо нулевой лебеговский объем остается нулевым, либо сохраняется инвариантная мера на аттракторе, в зависимости от того, какой объем вас интересует) 3. Нет, но поскольку лебеговский объем аттрактора равен нулю, он останется нулевым при любой замене координат от замены переменных формула вида calc 3
Еще раз, спасибо. Если он диссипативен, то не должен ли объем странного аттрактора измениться, исходя из того, что он будет терять энергию? здесь некоторая путаница. Не могли бы вы привести доказательство инвариантности объема относительно изменения координат для странного аттрактора? Буду признателен за это или ссылку на доказательство.
Для существования аттрактора система должна быть диссипативной, поэтому объем любого множества не должен возрастать под картой потока. Однако напомним, что том ≥ 0 и, критическая часть, объем аттрактора равен нулю, так как его размерность меньше н . Поэтому любая диссипативная система сохраняет объем аттрактора, который равен нулю. Что касается замены координат, то, поскольку аттрактор является множеством нулевой меры, образ аттрактора при любом гладком отображении также будет иметь нулевую меру.
Я обновил вопрос, попытавшись преобразовать ваш ответ в комментарии в доказательство. Но это все еще неясно и неполно. Не могли бы вы помочь в завершении корректора?

Когда говорят «объем», на самом деле имеют в виду «меру». Мера на пространстве Икс это функция мю который присваивает длины (или площади, или объемы, или вероятности — конкретное пространство Икс или контекст обычно диктует, что вы думаете о том, что является мерой, скажем, измерения) для «хороших» субъектов Икс , где "хорошо" означает, что кто-то заранее выбрал некоторые подмножества Икс что мы можем измерить. Они называются измеримыми множествами.

Карта Т : Икс → Икс говорят, что мю -инвариант, если (а) всякий раз, когда С измеримо, так что Т − 1 ( С ) и (б) мю ( Т − 1 С ) "=" мю ( С ) в любое время С поддается измерению.

Что касается того, как это проверить, это во многом зависит от частностей. Один невероятно распространенный и полезный прием заключается в том, что вам не нужно проверять выполнение условий (а) или (б) для каждого измеримого подмножества — если вы проверяете (а) и (б) на семействе множеств, которое «генерирует» набор измеримых множеств, то вы можете заключить, что оно справедливо везде. Например, если ваше пространство было Икс "=" [ 0 , 1 ] с обычной «мерой Лебега», задающей подмножество Икс это длина, достаточно проверить, что Т сохраняет меры интервалов.

пожалуйста, поправьте меня, где неправильно. Я хочу понять, что странные аттракторы хаотических систем имеют объем в фазовом пространстве. Является ли этот объем инвариантным к какому-либо преобразованию?
Что означает объем динамической системы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v