Уравнение Эйлера-Лагранжа

Question

Уравнение Эйлера-Лагранжа

Математика
реальный анализ
динамические системы
системы уравнений
уравнение Эйлера-Лагранжа
обыкновенные дифференциальные уравнения

еще одна чашка

У меня есть действие с лагранжианом, которое я хотел бы применить к уравнениям Эйлера-Лагранжа https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation , но потратил часы, действительно борясь с этим. то есть я определяю

л ((\begin{matrix} Икс \\ у \end{matrix}), (\begin{matrix} \dot{Икс} \\ \dot{у} \end{matrix})) "=" ‖ А ((\begin{matrix} Икс \\ у \end{matrix}) + (\begin{matrix} - \dot{у} \\ β \dot{у} \end{matrix})) ‖^{2}

$L\Big(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix},\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y}\end{pmatrix} \Big):= \Big\| A \Big( \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\dot{y} \\ \beta\dot{y}\end{pmatrix} \Big) \Big\|^2$

где

А "=" (\begin{matrix} с_{1} & с_{2} \\ с_{2} & с_{3} \end{matrix}), для некоторых с_{я} для которого А обратим .

$A=\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ c_2 & c_3 \end{pmatrix}, \text{for some }~c_i~\text{for which $A$ is invertible}.$

Который $x,y:[0,T]\to \mathbb{R}$ решить уравнение Эйлера-Лагранжа

\nabla_{(\begin{matrix} Икс \\ у \end{matrix})} л - \partial_{т} \nabla_{(\begin{matrix} \dot{Икс} \\ \dot{у} \end{matrix})} л "=" 0

$\nabla_{\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}} L-\partial_t\nabla_{\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y}\end{pmatrix} }L=0$ с начальными и конечными условиями

x (0) = q, x (T) = q^{'}, y (0) = p, y (T) = p^{'}

$x(0)=q,x(T)=q',y(0)=p,y(T)=p'$ . ? Пожалуйста помоги !

$\Big($ было бы больше информации о том, как константы $c_1,c_2,c_3$ относиться друг к другу быть полезным? потому что на самом деле $c_1=\sigma^2+\gamma^2, c_2=-\gamma(\sigma+\alpha),c_3=\alpha^2+\gamma^2$ , где эти константы $\alpha,\sigma,\gamma$ положительные и $\alpha\sigma>\gamma^2$ $\Big)$ .

РЕДАКТИРОВАТЬ: я получил EL, как и в приведенных выше вариантах для $c_1,c_2,c_3$

\nabla_{(Икс, у)} л "=" (\frac{1}{α о - γ^{2}})^{2} (\begin{matrix} 0 \\ \nabla_{у} Б_{1} + \nabla_{у} Б_{2} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla_{(x,y)} L = (\frac{1}{\alpha\sigma-\gamma^2})^2\begin{pmatrix} 0 \\ \nabla_{y} B_1+\nabla_{y} B_2 \end{pmatrix} \end{equation}$

с

\nabla_{у} Б_{1} "=" 2 (о + γ β) у + \frac{1}{о + γ β} (γ \dot{у} - о \dot{Икс})

$\begin{equation} \nabla_{y} B_1=2(\sigma+\gamma \beta) y + \frac{1}{\sigma+\gamma\beta}(\gamma \dot{y}-\sigma \dot{x}) \end{equation}$

и

\nabla_{у} Б_{2} "=" 2 (γ + α β) у + \frac{1}{γ + α β} (α \dot{Икс} - γ \dot{у}) .

$\begin{equation} \nabla_{y} B_2=2(\gamma + \alpha \beta) y + \frac{1}{\gamma+\alpha \beta}(\alpha \dot{x}-\gamma \dot{y}). \end{equation}$

Также

\partial_{т} \nabla_{(\dot{Икс}, \dot{у})} л "=" 2 (А^{- 1})^{2} ((\begin{matrix} \ddot{Икс} \\ \ddot{у} \end{matrix}) - (\begin{matrix} \dot{у} \\ - β \dot{у} \end{matrix}))

$\begin{equation} \partial_t \nabla_{(\dot{x},\dot{y})} L=2 (A^{-1})^2(\begin{pmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{y} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \dot{y} \\ -\beta \dot{y} \end{pmatrix}) \end{equation}$

Что является парной ОДУ

Ответы (2)

Уравнение Эйлера-Лагранжа

Qмеханик · Answer 1

Вот набросанный вывод.

Прежде всего заметим, что лагранжиан $L$ не зависит $\dot{x}$ . Тогда нам не нужны 2 граничных условия Дирихле (BCs) для $x$ вывести уравнение ЭЛ для $x$ . Уравнение EL для $x$ сводится к
$\begin{matrix} (1) & 0 "=" х (Икс, у, \dot{у}) "=" \frac{1}{2} \frac{\partial л (Икс, у, \dot{у})}{\partial Икс} "=" с_{1} (Икс - \dot{у}) + с_{2} (у + β \dot{у}) \end{matrix}$ $0~=~\chi(x,y,\dot{y})~:=~\frac{1}{2}\frac{\partial L(x,y,\dot{y})}{\partial x}~=~c_1(x-\dot{y}) +c_2(y+\beta\dot{y}) \tag{1}$ из которого мы можем определить $x$ .
Если мы устраним $^1$ $x$ в лагранжиане $L$ , лагранжиан становится (с точностью до общей ненулевой мультипликативной нормализации)
$\begin{matrix} (2) & л_{0} "=" \frac{1}{2} (у + β \dot{у})^{2} . \end{matrix}$ $L_0~=~\frac{1}{2}(y+\beta\dot{y})^2. \tag{2}$ Импульс $\begin{matrix} (3) & п "=" \frac{\partial л_{0}}{\partial \dot{у}} "=" β (у + β \dot{у}) . \end{matrix}$ $p ~=~ \frac{\partial L_0}{\partial \dot{y}} ~=~\beta(y+\beta\dot{y}).\tag{3}$ Энергетическая функция $\begin{matrix} (4) & Е "=" п \dot{у} - л_{0} "=" \frac{1}{2} (β \dot{у} - у) (β \dot{у} + у) "=" \frac{1}{2} (β^{2} {\dot{у}}^{2} - у^{2}) \end{matrix}$ $E~=~p\dot{y}-L_0~=~\frac{1}{2}(\beta\dot{y}-y)(\beta\dot{y}+y) ~=~\frac{1}{2}(\beta^2\dot{y}^2-y^2) \tag{4}$ является константой, так как нет явного $t$ -зависимость.
Другими словами, мы получаем ОДУ 1-го порядка
$\begin{matrix} (5) & β^{2} {\dot{у}}^{2} "=" 2 Е + у^{2} \end{matrix}$ $\beta^2\dot{y}^2~=~2E +y^2 \tag{5}$ уравнение (5) легко решается путем разделения переменных. Это дает 1 постоянную интегрирования. Вместе с $E$ тогда у нас есть 2 константы интегрирования, которые можно сопоставить с 2 BC Дирихле для $y$ .
Как правило, невозможно сопоставить 4 граничных условия (BCc), как уже отмечалось в ответе Чезарео. Было бы естественно отказаться от 2 БК Дирихле для $x$ .

--

$^1$ Обычно нельзя использовать уравнение ЭЛ (1) внутри лагранжиана, но можно показать, что оно допустимо для квадратичного уравнения. $x$ -зависимость. Мы можем завершить квадрат

\begin{matrix} (6) & л "=" л_{0} + л_{2} \end{matrix}

$L~=~L_0+L_2 \tag{6}$ где

\begin{matrix} (7) & л_{н} \propto х^{н} . \end{matrix}

$L_n ~\propto~ \chi^n .\tag{7}$ Нетрудно увидеть, что

L

$L$ и

L_{0}

$L_0$ приводят к тому же уравнению EL для

y

$y$ по модулю ограничения (1).

Привет, не могли бы вы помочь мне понять, что это за конкретный лагранжиан, что означает, что я не могу сопоставить 4 граничных условия? Это то, что нет никакой зависимости от $t$ или $\dot{x}$ ?

Чезарео · Answer 2

Лагранжиан не зависит от $t$ поэтому он подчиняется личности Бетрами. С $p=(x,y)$

л - \dot{п} \nabla_{\dot{п}} л "=" с_{0}

$L - \dot p\nabla_{\dot p}L = c_0$

или

с_{2}^{2} ({Икс}^{2} + у^{2} - (β^{2} + 1) {\dot{у}}^{2}) + с_{3}^{2} (у^{2} - β^{2} {\dot{у}}^{2}) + 2 с_{2} с_{1} (β {\dot{у}}^{2} + Икс у) + 2 с_{2} с_{3} (β {\dot{у}}^{2} + Икс у) + с_{1}^{2} ({Икс}^{2} - {\dot{у}}^{2}) "=" с_{0}

$c_2^2 \left(x^2+y^2-\left(\beta ^2+1\right) \dot y^2\right)+c_3^2 \left(y^2-\beta ^2 \dot y^2\right)+2 c_2 c_1 \left(\beta \dot y^2+x y\right)+2 c_2 c_3 \left(\beta \dot y^2+x y\right)+c_1^2 \left(x^2-\dot y^2\right)=c_0$

Из уравнений Эйлера-Лагранжа получаем

Икс "=" \frac{(с_{2} (с_{2} - β с_{3}) + с_{1}^{2} - β с_{2} с_{1}) \dot{у} - с_{2} (с_{1} + с_{3}) у}{с_{1}^{2} + с_{2}^{2}}

$x = \frac{\left(c_2 \left(c_2-\beta c_3\right)+c_1^2-\beta c_2 c_1\right) \dot y-c_2 \left(c_1+c_3\right) y}{c_1^2+c_2^2}$

подставляя теперь в прежнее ОДУ, мы получаем новое ОДУ, зависящее теперь только от $y,\dot y$ . В заключение у нас есть две независимые константы, которые нужно исправить: $c_0$ одна дополнительная граница из последнего полученного ОДУ и четыре независимых граничных условия. Это неосуществимо.

ПРИМЕЧАНИЕ

Лагранжиан является своего рода вырожденным относительно кинетической энергии, потому что

\frac{1}{2} \nabla_{\dot{п}} (\nabla_{\dot{п}} л) "=" (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & (с_{1} - β с_{2})^{2} + (с_{2} - β с_{3})^{2} \end{array})

$\frac 12\nabla_{\dot p}\left(\nabla_{\dot p}L\right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & \left(c_1-\beta c_2\right){}^2+\left(c_2-\beta c_3\right){}^2 \\ \end{array} \right)$

который не является положительно определенным.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Исправлены некоторые уравнения.

Я запутался, что «невозможно», вы говорите, что такой минимизирующей кривой (x (t), y (t)) не существует?
другой вопрос: не больше ли мы получаем от Эйлера Лагранжа? под этим я подразумеваю, что мы получаем от него две ОДУ.
см. мое редактирование :) хорошее замечание о вырождении кинетической энергии $L$ .
Не существует такой минимизирующей кривой, которая должна учитывать четыре независимых граничных условия. $x(0), x(T), y(0), y(T)$ . Из Эйлера-Лагранжа мы получаем одно ОДУ и алгебраическое соотношение между $x$ и $y,\dot y$

Уравнение Эйлера-Лагранжа

еще одна чашка

Ответы (2)

Qмеханик

еще одна чашка

Qмеханик

Чезарео

еще одна чашка

еще одна чашка

еще одна чашка

Чезарео

еще одна чашка

еще одна чашка

Использование определения δδ\delta-εε\varepsilon для доказательства устойчивости автономной системы

Хорошие следствия из теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Функция, градиент которой имеет постоянную норму на множествах уровня

Применение теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Оценка большого выражения с ограничениями дифференциальных уравнений

Решение уравнений Эйлера-Лагранжа с ограничениями с помощью множителей Лагранжа (геодезические)

Энергетическая функция маятника

Подразумевает ли глобальная устойчивость по Ляпунову единственное равновесие?

причина нахождения частного решения для неоднородного дифференциального уравнения

Путаница с теоремой Пуанкаре-Бендиксона