Нулевой показатель Ляпунова для хаотических систем

Каждая динамическая система с непрерывным временем с ограниченной динамикой без фиксированной точки имеет по крайней мере один нулевой показатель Ляпунова. Это относится не только к хаотической динамике, но и к периодической или квазипериодической.

Чтобы понять, почему это так, пусть$x$и $y$— два отрезка траектории, разделение которых ($x-y$) вы рассматриваете для определения или вычисления показателей Ляпунова. В каждой точке аттрактора (или инвариантного многообразия) мы можем представить это разделение в базисе векторов Ляпунова, каждому из которых соответствует один показатель Ляпунова. В этом представлении каждая компонента разделения растет или уменьшается независимо в соответствии с соответствующим показателем Ляпунова (в среднем). Например, в хаосе с одним положительным показателем Ляпунова разделение быстро укажет в соответствующем направлении, потому что этот показатель Ляпунова доминирует над другими.

Теперь предположим, что отрезок траектории $y$таков, что$y(t) = x(t+ε)$на некоторое время $t$, т. е. это временно немного продвинутая версия $x$. Расстояние между этими отрезками может увеличиваться и уменьшаться со временем в зависимости от скорости течения фазового пространства, но в среднем оно должно оставаться постоянным из-за следующего: Поскольку динамика ограничена, траектория$x$нужно будет приблизиться к$x(t)$опять же, т. е. должно быть какое-то$τ$такой, что$x(t+τ) \approx x(t)$. Из-за того, что поток в фазовом пространстве непрерывен, мы также имеем$y(t+τ) = x(t+τ+ε) \approx x(t+ε) = y(t)$и поэтому:

$$|x(t+τ) - y(t+τ)| \approx |x(t)-y(t)|$$

Следовательно, разделения по времени не сокращаются и не растут (в среднем), и в этом направлении мы получаем нулевой показатель Ляпунова: Если мы рассматриваем только такие разделения для вычисления показателя Ляпунова, мы получаем:

$$\begin{align} λ &= \lim_{τ→∞} \; \lim_{|x(t)-y(t)|→0}\; \frac{1}{τ} \ln\left(\frac{|x(t+τ)-y(t+τ)|}{|x(t)-y(t)|}\right)\\ &= \lim_{τ→∞} \; \lim_{|x(t)-y(t)|→0}\; \frac{1}{τ} \ln\left(\frac{|x(t)-y(t)|}{|x(t)-y(t)|}\right)\\ &=0 \end{align}$$

(Теперь у нас есть$=$вместо$\approx$из-за пределов, усредняющих все и позволяющих считать сколь угодно близкими$x(t)$и$x(t+τ)$.)

Наконец, интуитивно понятно, что разделения по направлению времени не смешиваются с разделениями по другим направлениям и, таким образом, соответствуют одному отдельному вектору Ляпунова в каждой точке аттрактора.

Поэтому все такие динамические системы должны иметь хотя бы один нулевой показатель Ляпунова.

Для более строгого и подробного обсуждения см. H. Haken - По крайней мере один показатель Ляпунова исчезает, если траектория аттрактора не содержит неподвижной точки, Phys. лат. А (1983) .