Почему аттрактор Лоренца может быть встроен в трехшаговую карту временной задержки?

Question

Почему аттрактор Лоренца может быть встроен в трехшаговую карту временной задержки?

Математика
теория хаоса
динамические системы
математическая физика

мв19930312

Я занимаюсь реконструкцией аттрактора системы Лоренца. Я видел кучу работ, утверждающих, что карта временной задержки $[x(t), x(t -\tau), x(t - 2\tau)]$ достаточно для реконструкции аттракота, например, http://www.scholarpedia.org/article/Attractor_reconstruction , https://www.youtube.com/watch?v=6i57udsPKms .

Если я правильно понимаю, это означает, что пространство состояний системы Лоренца может быть встроено в $\mathbb{R}^3$ . Однако, насколько мне известно, по теореме Такенса шаг задержки по времени $n$ встроить странный аттрактор размерности $d$ должно быть $n \geq 2d+1$ . В этом смысле, поскольку фрактальная размерность аттрактора Лоренца немного больше, чем $2$ , должно быть не менее $5$ шаги задержки для достижения встраивания.

Есть ли какая-либо конкретная теорема/статья, утверждающая, что аттрактор Лоренца может быть встроен с помощью трехэтапного встраивания с временной задержкой?

дантопа

Добро пожаловать в Mathematics Stack Exchange! Отличный пост! Краткий обзор поможет вам понять, как лучше формировать вопросы и ответы.

Лутц Леманн

Теорема дает гарантию

n \geq 2 d + 1

$n\ge 2d+1$ , но не утверждает, что меньше

n

$n$ не работает. // Аналогичное изображение для

τ = 0.1

$τ=0.1$ , просто удвоив его до

τ = 0.2

$τ=0.2$ дает гораздо более криволинейную поверхность.

мв19930312

@LutzL Спасибо за ответ! Я понимаю, что теорема Такенса дает только верхний предел. Меня беспокоит то, что

[x (t), x (t - τ), x (t - 2 τ)]

$[x(t), x(t-\tau), x(t-2\tau)]$ не кажется вложением, так как я не смог найти ни одной строгой теоремы, говорящей об этом. У вас есть какая-нибудь ссылка?

Лутц Леманн

Нет, только выдвинутый в ответ аргумент о том, что система достаточно связана, чтобы карта из

[x (t), y (t), z (t)]

$[x(t),y(t),z(t)]$ в штаты на

t - τ

$t−τ$ и

t - 2 τ

$t-2τ$ а затем спроецировать вниз на

[x (t), x (t - τ), x (t - 2 τ)]

$[x(t),x(t−τ),x(t−2τ)]$ является биективным, так что динамика точно фиксируется в карте трехступенчатой задержки. // При построении графика это очень помогает для небольших

τ

$τ$ применить линейное преобразование и построить кривую [(x(t)+x(t−τ)+x(t−2τ)),(x(t)-x(t−2τ)),(x(t) -2x(t−τ)+x(t−2τ))]$.

Ответы (2)

Почему аттрактор Лоренца может быть встроен в трехшаговую карту временной задержки?

Добро пожаловать в Mathematics Stack Exchange! Отличный пост! Краткий обзор поможет вам понять, как лучше формировать вопросы и ответы.
Теорема дает гарантию $n\ge 2d+1$ , но не утверждает, что меньше $n$ не работает. // Аналогичное изображение для $τ=0.1$ , просто удвоив его до $τ=0.2$ дает гораздо более криволинейную поверхность.
@LutzL Спасибо за ответ! Я понимаю, что теорема Такенса дает только верхний предел. Меня беспокоит то, что $[x(t), x(t-\tau), x(t-2\tau)]$ не кажется вложением, так как я не смог найти ни одной строгой теоремы, говорящей об этом. У вас есть какая-нибудь ссылка?
Нет, только выдвинутый в ответ аргумент о том, что система достаточно связана, чтобы карта из $[x(t),y(t),z(t)]$ в штаты на $t−τ$ и $t-2τ$ а затем спроецировать вниз на $[x(t),x(t−τ),x(t−2τ)]$ является биективным, так что динамика точно фиксируется в карте трехступенчатой задержки. // При построении графика это очень помогает для небольших $τ$ применить линейное преобразование и построить кривую [(x(t)+x(t−τ)+x(t−2τ)),(x(t)-x(t−2τ)),(x(t) -2x(t−τ)+x(t−2τ))]$.

Врзлпрмфт · Answer 1

это означает, что пространство состояний системы Лоренца может быть вложено в $\mathbb{R}^3$ .

Без ограничения на вложение с задержкой это тривиально, поскольку система Лоренца состоит из трех дифференциальных уравнений.

Однако, насколько мне известно, по теореме Такенса шаг задержки $n$ встроить странный аттрактор размерности $d$ должно быть $n \geq 2d+1$ .

Размерность, заданная теоремой Такенса, является лишь верхним пределом. Может быть достаточно меньшего размера встраивания. Также см. этот вопрос и ответ .

Также обратите внимание, что теорема Такенса вообще не использует фрактальные измерения; это теорема Зауэра-Йорка-Касдальи.

Есть ли какая-либо конкретная теорема/статья, утверждающая, что аттрактор Лоренца может быть встроен с помощью трехэтапного встраивания с временной задержкой?

Учитывая, что аттрактор Лоренца можно вложить в трех измерениях (см. выше), было бы интуитивно удивительно, если бы трехмерное вложение задержки здесь не сработало (в частности, для всех задержек). Более того, и, возможно, это наиболее важно, трехмерные вложения аттрактора Лоренца с задержкой широко использовались для сравнительного анализа, доказательства принципа и т. п., что, насколько мне известно, не выявило каких-либо несоответствий, которых можно было бы ожидать для неудачное встраивание.

Я не знаю о строгих исследованиях этого, но я не удивлюсь, если их не существует из-за отсутствия актуальности: весь смысл вложения Takens состоит в том, чтобы реконструировать аттракторы неизвестной динамики. Применение его к чему-то вроде системы Лоренца предназначено только для сравнительного анализа, доказательства принципа и т. д.

Спасибо за ответ! Говоря: «Учитывая, что аттрактор Лоренца может быть встроен в трех измерениях (см. Выше), было бы удивительно, если бы вложение задержки здесь не удалось (в частности, для всех задержек)», вы имеете в виду, что, поскольку аттрактор Лоренца может быть встроен в $\mathbb{R}^3$ , должно существовать вложение с временной задержкой с $n\geq 7$ ? На самом деле я не знаю, $[x(t), x(t - \tau), x(t - 2\tau)]$ является вложением, так как нет теоремы, обосновывающей его. Все существующие работы, которые я нашел, предполагают это по умолчанию, поскольку траектория исходной системы похожа на траекторию с задержкой по времени....
@ mw19930312: Пожалуйста, посмотрите мое редактирование.

Лутц Леманн · Answer 2

Почему для системы Лоренца достаточно 3 шагов задержки:

Мы знаем, что Тейлор

\frac{Икс (т + т) - Икс (т - т)}{2 т} "=" \dot{Икс} (т) + \frac{т^{2}}{6} \overset{⃛}{Икс} (т) + . . .

$\frac{x(t+τ)-x(t-τ)}{2τ}=\dot x(t)+\frac{τ^2}6\dddot x(t)+...$ и

\frac{Икс (т + т) - 2 Икс (т) + Икс (т - т)}{т^{2}} "=" \ddot{Икс} (т) + \frac{т^{2}}{12} {Икс}^{(4)} (т) + . . .

$\frac{x(t+τ)-2x(t)+x(t-τ)}{τ^2}=\ddot x(t)+\frac{τ^2}{12}x^{(4)}(t)+...$ Теперь подставьте дифференциальные уравнения Лоренца

\begin{aligned} \dot{Икс} & "=" о (у - Икс) \\ \ddot{Икс} & "=" о (Икс (р - г) - у - \dot{Икс}) \end{aligned}} ⟹ \begin{aligned} у & "=" Икс + \frac{\dot{Икс}}{о} \\ г & "=" р - \frac{у + \dot{Икс} + \frac{\ddot{Икс}}{о}}{Икс} \end{aligned}}

$\left.\begin{aligned} \dot x&=σ(y-x)\\ \ddot x&=σ(x(\rho-z)-y-\dot x) \end{aligned}\right\} \implies \left.\begin{aligned} y&=x+\frac{\dot x}σ\\ z&=\rho-\frac{y+\dot x+\frac{\ddot x}σ}{x} \end{aligned}\right\}$ чтобы увидеть это на заказ

τ^{2}

$τ^2$ ценности

y (t)

$y(t)$ и

z (t)

$z(t)$ легко извлечь из разностных отношений и членов первой производной справа.

_{Реконструкция с использованием приведенных выше приближений и $\tau=0.03$ . Реконструированная кривая точно повторяет исходную кривую, за исключением близкой к $x=0$ где деление на ноль приводит к сингулярностям даже в смягченном делении.}

Использование производных членов более высокого порядка дает систему более высокой степени, которая обеспечит более точную связь между двумя наборами данных. Но даже это первое приближение показывает, что можно ссылаться на теорему об обратной функции до тех пор, пока $x\ne0$ чтобы получить биекцию.

Почему аттрактор Лоренца может быть встроен в трехшаговую карту временной задержки?

мв19930312

дантопа

Лутц Леманн

мв19930312

Лутц Леманн

Ответы (2)

Врзлпрмфт

мв19930312

Врзлпрмфт

Лутц Леманн

мв19930312

Может ли существовать энергетически неограниченная трехчастичная орбита, выход из которой невозможен из-за сохранения углового момента?

Нулевой показатель Ляпунова для хаотических систем

Что происходит в этом фрактальном видео?

Что означает объем динамической системы

Уравнение Эйлера-Лагранжа

Приложения алгебраической топологии к физике

Хорошие следствия из теоремы Пуанкаре-Бендиксона

Каковы собственные векторы этой матрицы, и если это собственные векторы, то почему они не ортогональны?

Тензорное произведение гильбертовых пространств

Есть ли что-то похожее на теоремы Гёделя о неполноте в физике?