Что означает сложный импульс в классической механике?

Когда вы решаете дифференциальное уравнение, вы получаете не одно решение, а семейство решений. Решение, описывающее вашу систему, выбирается путем наложения граничных условий, например, начального положения и скорости.

Вы приводите пример гармонического осциллятора, где решение:

$$x(t)=x_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$$

Но:

$$x(t)=x_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$$

также является решением, и, поскольку уравнение является линейным, сумма (или разность) этих двух также является решением. Предположим, мы нашли позицию в$t = 0$является$x_0$и скорость на$t = 0$равен нулю, то мы можем использовать эти начальные условия, чтобы найти уравнение для нашей системы, и мы получаем:

$$x(t) = \frac{x_0}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} )$$

И, конечно же, это просто:

$$x(t) = x_0 \cos(\omega t)$$

То есть наши реальные начальные условия определяли реальное уравнение движения, несмотря на то, что в качестве решений мы использовали сложные функции. И я думаю, что именно так вы должны смотреть на ситуацию. Если бы у нас были комплексные значения в качестве наших начальных условий, мы должны были бы ожидать, что уравнение движения даст комплексные наблюдаемые. Однако эксперимент показывает, что мы никогда не получаем начальные условия, которые являются комплексными значениями, поэтому мы никогда не ожидаем, что уравнение движения предскажет сложные наблюдаемые.

Если мы посмотрим на это таким образом, то ваш вопрос сводится к тому, являются ли сложные начальные условия нефизическими. На это нет ответа, кроме как сказать, что ни разу за тысячи лет, в течение которых физики проводили измерения, мы не наблюдали сложнозначное начальное условие. Это не доказывает, что наблюдаемые с комплексными значениями нефизичны, но большинство из нас воспримет это как разумную рабочую гипотезу.

Мы часто моделируем осцилляторы со сложными экспонентами и просто игнорируем мнимую составляющую.

Сказать, что мы моделируем осцилляторы определенным образом, означает, что мы утверждаем, что они такие. Здесь происходит совсем не то. В классической механике координаты фазового пространства осциллятора представляют собой вещественные функции времени, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям, комплексные решения которых легко найти, а вещественные функции которых легче всего найти, зная комплексные и учитывая, что эти уравнения линейны.

У нас часто бывают сложные волновые числа и частоты, которые мы интерпретируем как затухающее движение.

Волновые числа, частоты и т.д. могут быть определены как угодно. Как нам нравится их определять? В некотором смысле это полезно. Полезно определить$e^{ikx}$как имеющий волновое число$k$, даже если$k\in\Bbb C\setminus\Bbb R$. Но физически последствия$k\in\Bbb R,\,k\in i\Bbb R,\,k\in\Bbb C\setminus(\Bbb R\cup i\Bbb R)$кардинально отличаются.

Откуда мы знаем, что найденный здесь воображаемый импульс действительно бессмыслен?

Потому что, когда вы измеряете импульс, это реально. Это решение природы.

существует ли строгий способ сказать, когда сложный характер расчетных наблюдаемых указывает на то, что указанные расчеты предсказывают физически неосуществимое состояние?

Если под «строгим» вы подразумеваете «теория так говорит», это открыто для возражения «почему это наша теория?» Суть всегда заключается в объяснении того, что наблюдается, что подразумевает совместимость с тем же.

если вам нужно использовать комплексные числа, то вы ошибаетесь, как это подразумевается. Можно ли выполнять математику в физике, не используя$\sqrt{-1}$?

Это не то, о чем говорит любой ответ. Физика не предполагает, что некоторые математические объекты запрещены; он заботится только о том, верны ли предсказания эмпирически.

Вводные учебники несут ответственность за передачу большого количества знаний новичку за достаточно короткий промежуток времени. В этом стремлении им приходится использовать всевозможные метафоры, чтобы сделать факты запоминающимися. Лишь небольшая часть студентов останется с книгой, которая строит все на аксиомах и перечисляет все допущения в утомительных деталях, как учебник по математике (на самом деле, ребята-математики часто хотят, чтобы это было правдой, потому что они по-другому социализированы, и они сбиты с толку всеми нечеткими предположениями, о которых они никогда не слышали).

Проблема начинается, если к одной из мнемоник относятся слишком серьезно. Тогда учащийся застрянет, потому что он думает, что должен быть какой-то смысл в том, что тот или иной авторитет утверждает за истину.

Две вещи в вашем вопросе бросаются в глаза по отношению к тому, что я сказал выше:

1. утверждение, что мнимые величины «нефизичны»
2. выражение$p=\sqrt{\dots}$которая, как утверждается, является «классической формулой импульса».

Что касается 1) , то воображаемая единица не представляет собой ничего особенного, когда речь идет о физике. Математики могут делать с комплексными числами всевозможные интересные и осмысленные вещи. Но для физика важно, способны ли математические величины представлять измерения (хотя бы косвенно, например, через амплитуду вероятности в КМ) таким образом, который допускает предсказания или, по крайней мере, корреляции. Вы можете просто представить воображаемую единицу как реальную матрицу

$$i=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)$$ Как вы можете легко проверить,$i^2=-1$где$1$обозначает единичную матрицу в 2D. Могли бы вы сказать, что матрицы указывают на что-то «физически незаконное»? Конечно нет. И, как оказалось, приведенная выше матрица является бесконечно малым генератором (так сказать, тангенсом) вращений, поэтому наиболее естественно описывать двумерные вращения единичными комплексными числами (можно даже трехмерные вращения описывать обобщением комплексных чисел, называемых кватернионами!). Гармонический осциллятор представляет собой такой вид вращения: в некотором смысле энергия «вращается» между кинетической и потенциальной энергией, или, точнее, система вращается между максимальной скоростью и максимальным перемещением. Тот факт, что у вас есть две степени свободы для такого вращения, отражает тот факт, что осциллятор второго порядка,

Это всего лишь пример того, как воображаемая единица может представлять физическую величину. С другой стороны, если вы начинаете с предположения о реальных координатах и ​​решения вашего дифференциального уравнения или чего-то еще, что дает комплексные или мнимые координаты, вам трудно объяснить, что это означает с точки зрения измерений. Обычно не склонны предполагать, что сложное положение означает наличие какого-то экстра-измерения. Бритва Оккама требует, чтобы мы сначала проверили самое простое объяснение. А в случае гармонического осциллятора просто мы всегда можем выбирать реальные решения и накладывать их друг на друга, так зачем произвольно выбирать сложные решения? В этом смысле комплексные решения гармонического осциллятора нефизичны: они нам не нужны для объяснения реальности. но мы можем использовать их, если объясним, что означает их использование (а именно, суперпозиция двух ортогональных решений в очень практичном комплексном экспоненциальном выражении). С квантовой механикой дело обстоит совершенно иначе: мы не можем объяснить «квантовую реальность» однозначной реальной волновой функцией. Нам нужно использовать$i$(или эквивалентную матрицу), чтобы все соответствовало друг другу. Итак, воображаемая единица не является нефизической в ​​квантовой механике, по крайней мере, не в том же смысле, что и в классической механике. Однако он частично избыточен, поскольку связан с калибровочной симметрией электромагнитного поля. Если измерить электромагнитные потенциалы по-другому, то можно частично изменить фазу волновой функции (что определяет ее сложный характер), но только до$2\pi$вращения.

Что касается 2) , то в квантовой механике есть много соотношений, которые выглядят подозрительно «классическими», и в квантовой механике также много соотношений, которые находятся в разительном противоречии с классической механикой. Тот факт, что произвольная формула выглядит как классическая, если вы используете правильные буквы алфавита, не означает, что величины, которые они представляют, совпадают с теми, которые вы можете измерить в эксперименте. Ведь это всего лишь буквы. Заменять$p$к$R$и это выглядит уже не так интригующе. Причина, по которой авторы решили представить материал таким образом, заключалась в том, чтобы разбудить читателя и сказать ему: «Эй, чувак, в этой квантовой механике лежит горшок с золотом, и если ты откопаешь это, ты будешь богатый".

На самом деле в квантовой механике нет такого понятия, как «классический импульс», и, в частности, мнимый импульс не имеет смысла в квантовой механике. Возможно, вы можете использовать этот воображаемый классический импульс для красивого описания других вещей (например, туннельный эффект, если «классический импульс» становится воображаемым), но эти описания полезны только в ограниченном контексте (иначе нам вообще не понадобилась бы КМ) . Следовательно, приведенная вами формула не представляет импульс. В КМ импульс данного состояния системы может быть определен только как набор амплитуд вероятностей$\langle p|\psi\rangle$(компоненты Фурье волновой функции, представленные собственными состояниями$|p\rangle$оператора импульса) для возможных измерений импульса. Если вы измеряете систему, вероятность получения определенного значения импульса равна квадрату амплитуды вероятности. Теорема Эренфеста связывает это с классической механикой, имея дело со средними значениями, но это справедливо только для огромного количества повторных измерений одной и той же системы (или измерения ансамбля эквивалентных систем). Импульс одного измерения не определен (если только система не находится в собственном состоянии импульса, которое вы исключили, сославшись на независимое от времени уравнение Шредингера с потенциалом).

Итак, резюмируя вышеизложенное и краткий ответ на ваш вопрос: воображаемая единица не имеет предопределенного значения в классической механике. Это может быть что угодно, что вы хотите и что оно может математически представить (например, вращение в фазовом пространстве, вращение в физическом пространстве и т. д.). Следовательно, оно вовсе не является нефизическим само по себе, если только вы не встроили в него «нефизичность» с помощью голого математического формализма.

Я не думаю, что комплексные величины — это красный флаг в физике. Математика — это набор инструментов, и нам не нужно придавать им онтологический вес, вопрос должен заключаться в том, упрощают ли они физику и/или проясняют ли ее.

Более того, не вся математика может быть сведена к действительным числам. Например, теория категорий или теория множеств не использует числа существенным образом.