Генератор оператора импульса трансляционного классического предела

Генератор$x$-переводы точнее$x$производная

$$\frac{\partial}{\partial x}~=~i\frac{\hat{p}}{\hbar}~=~i\hat{k},$$ оператор волнового числа , который не зависит от$\hbar$.

Вы умышленно неправильно понимаете$\hbar/S \to 0$классический лимит. ℏ многомерен, поэтому выбор огромных единиц измерения для его измерения, таких как единицы MKSA для измерения движущихся поездов, заставляет его выглядеть маленьким. «Правильный», чрезвычайно тонкий, классический предел основан на приведенном выше безразмерном соотношении, сравнивающем характеристическую величину действия S системы с ℏ.

То, как ℏ появляется для ввода переводов в x -представлении,

$$e^{a{i\over \hbar} \hat p} f(x)= e^{a\partial_x} f(x)= f(x+a),$$ - это масштабирование / нормализация операторов в показателе степени, чтобы сделать его безразмерным, привычка измерения нормализации операторов фазового пространства в коммутационном соотношении Борна. Вы, кажется, беспокоитесь о несуществующей проблеме. Градиент функции столь же велик, как и ее локальное изменение в заданном масштабе.

Я ответил на ваш предыдущий вопрос. Здесь ответ аналогичен. Если вы хотите сравнить квантовое с классическим в пределе, вы не можете делать это по частям. Вы должны смотреть на это как на часть согласованного и непротиворечивого ограничения. В этом случае, пытаясь отдельно посмотреть на лимит$\hat{p}$в$\hbar \rightarrow 0$предел (см. соответствующий комментарий в моем ответе на ваш предыдущий вопрос о том, действительно ли выполнение этого в качестве предела является правильным концептуальным подходом, но мы будем использовать его здесь) не имеет смысла, потому что импульс не является оператором, как он рассматривается в классической теории .

То, что следует ниже, не является полным формальным доказательством, но в нем излагаются некоторые важные соображения.

Наблюдаемые в квантовой теории будут применять оператор к волновой функции и работать оттуда, обычно для получения ожидаемого значения. Волновая функция также зависит от$\hbar$Итак, если вы собираетесь ограничиться, вам нужно знать, как ведет себя объединенная сущность, а не только одна из ее частей. Как отмечалось в ответе на ваш предыдущий вопрос, вы всегда можете написать решение уравнения Шредингера как$\psi = R e^{iS/\hbar}$серьезно$R$и$S$. Оказывается, что$S$тогда тесно связано с действием таким, что$\nabla S$похоже на классический импульс. В то же время,$\hat{p} \psi = \left( \nabla S \right) \psi$. Правая часть зависит только от$\hbar$через аргумент к экспоненте, и это уходит, скажем, в выражение ожидаемого значения, где вы умножаете на$\psi^*$.

Правильный ответ дал Космас Захос, однако я хочу добавить замечание по поводу утверждения, что "$\hat p$сходится к$0$в классическом пределе"

На самом деле можно посмотреть непосредственно на предел оператора импульса более математически точным способом: оператор импульса определяется выражением$\hat p = -i\hbar\nabla$. Заметьте сначала, что это неограниченный оператор на$L^2$, поэтому следует быть осторожным в отношении того, что такое «сходимость к$0$" означает (в операторной норме,$\hbar\cdot\infty = ∞$не сходится к$0$). Способ посмотреть на сходимость неограниченного оператора - использовать слабую сходимость. Например, посмотреть на предел его среднего значения$\lim_{\hbar\to 0}\mathrm{Tr}(\hat p\,\rho)$для любой хорошей матрицы плотности$\rho$.

Однако при выполнении классического предела квантовой механики следует забывать, что размер операторов также зависит от$\hbar$.

Классический способ выполнения лимита$\hbar\to 0$состоит в том, чтобы ввести преобразование Вигнера

$$W_{\rho}(x,p) = \frac{1}{\hbar^d}\int_{\mathbb R^3} e^{-i\,y\cdot p/\hbar}\,\rho(x+y/2,x-y/2)\,\mathrm d y$$ который действительно является объектом, сходящимся к классическому распределению фазового пространства. Затем быстрое вычисление показывает, что $$\mathrm{Tr}(\hat p\,\rho) = \int_{\mathbb R^6} p\, W_{\rho}(x,p)\,\mathrm d x\,\mathrm d p.$$ В частности, если$W_{\rho}(x,p)$сходится к классической функции фазового пространства$f$в подходящей топологии (что является предположением, указывающим, что$\rho$является$\hbar$зависимый), то $$\mathrm{Tr}(\hat p\,\rho) \to \int_{\mathbb R^6} p\, f(x,p)\,\mathrm d x\,\mathrm d p$$ который не$0$.