Как интуитивно связаны классический и квантовый импульс?

В общем, может ли кто-нибудь объяснить, почему импульс волны вероятности (определяемый как p = h/λ) совпадает с импульсом частицы, которую описывает волна вероятности (определяется как p = mv)?

Трудно объяснить это коротким ответом, поскольку даже для того, чтобы начать движение к «ответу» на этот вопрос, требуется объяснить многие основы квантовой механики. И эти основы несколько неумолимо застряли в математическом формализме, который, по крайней мере, требует от вас понимания исчисления... но в любом случае, давайте попробуем...

В одночастичной квантовой механике обнаруживается, что, к сожалению, просто невозможно сделать полностью детерминированные предсказания о положении «частицы» (в данном обсуждении «частица» означает что-то вроде электрона). Вместо этого нужно охарактеризовать частицу как описываемую волновой функцией амплитуды вероятности (часто называемой$\Psi(x,t)$, где$x$является аргументом пространственного положения).

Абсолютный квадрат амплитуды вероятности дает плотность вероятности того, что частица находится «в точке х».

Например,$\int_{x_1}^{x_2}|\Psi(x,t)|^2dx$есть вероятность того, что частица находится между$x_1$и$x_2$во время т.

Например,$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2dx=1$(поскольку интеграл плотности вероятности по всем возможным значениям равен 1).

Квантовая механика также дает нам возможность выяснить, как работает волновая функция.$\Psi(x,t)$меняется со временем. Уравнение, которое определяет, как$\Psi(x,t)$меняется со временем, называется уравнением Шредингера.

Например, «свободное» уравнение Шредингера, которое определяет, как волновая функция «свободной» частицы$\Psi_f$изменяется со временем:

$$\frac{i\hbar\partial \Psi_f(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi_f(x,t)}{\partial x^2}\;,$$ где$\hbar = h/(2\pi)$и$m$есть масса частицы.

При условии$|\Psi(x,t)|^2$— плотность вероятности, мы можем (используя, как обычно, теорию вероятностей) рассчитать ожидаемое значение «X», положения. Это ожидаемое значение:

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}x|\Psi(x,t)|^2dx$$

Мы также можем рассчитать ожидаемое значение «P», импульс. Это ожидаемое значение:

$$E[P] = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)\frac{-i\partial\Psi(x)}{\partial x}dx\;,$$ где "$*$" означает "комплексно-сопряженная" (абсолютный квадрат комплексной функции равен$|\Psi(x,t)|^2=\Psi^*(x)\Psi(x)$).

Это приводит к определению «оператора импульса» как

$$\hat P = -i\frac{\partial{\;\;}}{\partial x}$$

В квантовой механике «импульс» частицы в состоянии$\Psi$определяется размещением «оператора импульса» между$\Psi^*$и$\Psi$и интегрирование по всему пространству. Обратите внимание, что хотя я сказал «импульс», я должен был сказать «ожидаемое значение импульса». Фактическое измеренное значение импульса на самом деле может быть любым значением от отрицательной бесконечности до бесконечности, а плотность вероятности для импульса (оказывается) на самом деле является преобразованием Фурье (относительно x)$\Psi(x,t)$. Точно так же фактическое измеренное значение положения может быть любым от отрицательной бесконечности до бесконечности, но «ожидаемое значение» — это взвешивание всех этих значений с помощью вероятности$|\Psi(x)|^2$.

Люди часто просто называют «ожидаемое значение импульса» «импульсом» и могут написать:

$$"p" = E[P] = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)\frac{-i\partial\Psi(x)}{\partial x}dx\;,$$ Хорошо иметь это в виду, поскольку частица не «имеет» какого-либо конкретного импульса, т. е. если мы измеряем импульс, возможно любое значение, но в зависимости от волновой функции некоторые возможности могут быть более вероятными, чем другие, а также с учетом волновой функции можно определить ожидаемое значение.

ХОРОШО. Так. Вернемся к нашему уравнению Шредингера для свободных частиц: мы можем решить его обычным способом, просто угадав правильный ответ (извините). Одно решение бывает:

$$\Psi_f(x,t) = e^{ip_0x/\hbar-ip_0^2t/(2m\hbar)}\;,$$ где$p_0$- параметр с единицами импульса.

К сожалению, это решение на самом деле неприемлемо, поскольку его нельзя нормализовать (его квадратный интеграл нельзя привести к единице, как это необходимо сделать для реальных амплитуд вероятностей). Тем не менее, продолжим.

Согласно нашему механизму, чтобы рассчитать ожидаемое значение импульса . Мы должны сделать:

$$"p" = E[P] = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi_f^*(x,t)\frac{-i\partial\Psi_f(x,t)}{\partial x}dx = p_0\int|\Psi(x,t)|^2\;,$$ что было бы равно "$p_0$" за исключением того досадного факта, что наша плохая волновая функция ненормируема.$\frac{-i\partial}{\partial x}$является разумным «оператором импульса».

Пространственно-зависимая часть нашего$\Psi_f(x,t)$просто

$$e^{ip_0x/\hbar}\;,$$ которая представляет собой (сложную) волну в пространстве.

Длина волны этой волны определяется тем, как далеко по x должна пройти волна, пока аргумент не изменится от нуля до$2\pi$(поскольку волна повторяется каждый раз, когда фаза (часть, умножающая$i$) проходит через другую$2\pi$несколько). То есть, когда$ip_0 x$является$i2\pi$:

$$2\pi = p_0 (wavelength)/\hbar\;,$$ Который означает, что: $$(wavelength) = \frac{2\pi\hbar}{p_0}\;.$$

Итак, в нашем неприемлемом (ненормируемом) случае выглядит так, что «импульс» «свободной частицы» равен:

$$"p_f" = \frac{2\pi\hbar}{(wavelength)}\;.$$

Или, переключившись обратно с$\hbar$к$h$, Это:

$$"p_f" = \frac{h}{(wavelength)}$$

Это гипотеза, которая соответствует экспериментальным данным. Стоит прочитать , как квантовая теория медленно развивалась из экспериментальных наблюдений.

Эйнштейн предположил, что$E=hν$в загадке излучения черного тела, и импульс для этой гипотезы$p=E/c=h/λ$для фотонов с нулевой массой.

Де Бройль распространил его на массивные частицы.

($h$постоянная Планка,$c$скорость света$ν$частота света и$λ$длина волны).

Это была гипотеза, которая подтвердилась:

Формула де Бройля была подтверждена три года спустя для электронов с наблюдением дифракции электронов в двух независимых экспериментах.

В эксперименте с одним электроном за раз и с двумя щелями и в эксперименте с одним фотоном за раз видно, что массивные и безмассовые частицы генерируют предсказанные интерференционные картины в распределениях вероятностей .

В общем, может ли кто-нибудь объяснить, почему импульс волны вероятности (определяемый как p = h/λ) совпадает с импульсом частицы, которую описывает волна вероятности (определяется как p = mv)?

Это была гипотеза, основанная на аналогии с фотонами, квантами света, которая была подтверждена экспериментом и, наконец, существует в рамках квантово-механической теории, разработанной с помощью строгой математики.

Квантовый импульс - это «нечеткая» версия классического импульса: в частности, его можно считать его версией с ограниченной информацией .

Чтобы понять, что означает «ограничение информации», рассмотрим этот наглядный пример. В классической механике ваш классический импульс представлен действительным числом, например

$$p := 0.57701249053\cdots$$

или что-то подобное. Произвольное действительное число требует бесконечного количества информации для указания: чтобы указать почти любое действительное число без ограничений, нет (доказуемо) другого, более компактного способа сделать это, чем просто перечислить все его цифры, которые бесконечны в число.

Если, однако, мы сохранили только конечное число цифр, например

$$0.577$$

, теперь у нас было бы конечное количество информации. Конечно, поначалу, увидев эту цифровую строку, можно было бы задаться вопросом, чем она лучше — в конце концов, не является ли «0,577» просто особым вещественным числом, которое легко представить? Хорошо бы . если бы мы взяли эту строку как представляющую действительное число

$$0.57700000000000000\cdots$$

уходя в бесконечность. Но мы этого не делаем. Мы принимаем «0,577» как указание числа, которое не точнее ближайшей тысячной. Он не определен ни в каком более тонком разрешении, и, таким образом, он не определяет конкретную точку в пространстве или здесь конкретную силу импульса. Этот импульс представляет собой, скорее, некую неопределенную величину между 0,577 и 0,578 — и для нашей реальной Вселенной, похоже, более уточненной величины, по-своему, просто не существует. Вселенная экономна в распределении информации для описания содержащихся в ней объектов и не расточительна.

Однако правильное представление об «ограниченной» информации для реальной Вселенной не столь упрощенно, как это «нарезание» цифр таким образом. Вместо этого нам нужен немного более сложный способ говорить об ограничении информации, который позволяет ограничивать ее различными способами . Чтобы увидеть пример — просто чтобы открыть ваш разум для возможности того, что есть другие способы нехватки информации, помимо простого обрезания цифр с конца — обратите внимание, что еще один способ, которым мы могли бы написать «$p$" с "меньшей информацией" будет

$$0.5770\mathrm{OEEOE}$$

где мы сохранили еще несколько цифр, но теперь даем только их четность : здесь$\mathrm{O}$означает неизвестную нечетную цифру (например, 1, 3, 5, 7, 9) и$\mathrm{E}$означает, что это неизвестная четная цифра (т.е. 0, 2, 4, 6, 8). Таким образом, у нас есть некоторая информация об этих новых цифрах, но не полная информация. Информации больше, чем наша строка «0,577», но все же меньше информации, чем целое действительное число.

Теперь, что касается реальной Вселенной, у нее есть много-много способов ограничения информации, и лучший язык, который мы создали для обсуждения того, как она работает, — это язык вероятностей , и это язык, на котором мы пишем квантовые теории. теории. Чтобы понять, как/почему эти вероятности являются формой информации, или, точнее, формой разговора об отсутствии информации, просто подумайте, как вы можете использовать их в обычной обстановке. Если вы говорите в непринужденной беседе, что «я уверен только на 75%» в том, что что-то имеет место или нет, вы говорите, что на самом деле вы не так информированы о том, будет ли это так, как если бы вы на самом деле знал точно. На самом деле это (по общему признанию, случайная) вероятность, используемая для представления состояния ограниченной информации в вашем уме.

И это то, что мы делаем в квантовой механике: теперь мы приписываем значение вероятности каждому возможному импульсу. $p$частицы - то, что мы называем функцией плотности вероятности , или PDF :

$$P(p)$$

откуда мы можем получить с помощью исчисления действительную вероятность того, что импульс$p$находится в любом указанном диапазоне. Если существует очень высокая вероятность того, что он находится в узком диапазоне и очень мало где-либо еще, мы можем сказать, что по тем же соображениям у нас есть много информации о том, что такое импульс, и если диапазон широк, можно сказать, что у нас мало информации.

Теперь, что касается отношения

$$p = \frac{h}{\lambda}$$

, это требует от нас более подробного обсуждения того, почему нам нужно использовать эти вероятностные описания. В частности, Вселенная, по-видимому , имеет ограничение на содержание информации точно так же, как и ограничение на движение информации (знаменитая скорость света). Следствием этого является то, что определенные пары физических параметров объекта, такие как его импульс и положение , ограничены постольку, поскольку одновременная информация может существовать для обоих в любой момент времени.

И дело не только в том, что Вселенная «скрывает» от нас информацию или что мы просто недостаточно умны — если мы попытаемся предположить это и зайдем достаточно далеко в этой линии теоретизирования, мы на самом деле придем к некоторому противоречию. против ограничения на движение информации, о котором мы только что упоминали. Действительно кажется, по крайней мере, для простейшей гипотезы, что информация ограничена. Дело не в том, что у него нет никакой информации, так что да, Луна «все еще там, когда вы не смотрите» [или, по крайней мере, у нас нет причин предполагать, что это не так, во всяком случае, не на этом основании], вопреки тому, что вы возможно, слышал в некоторых поп-культовых идеях на эту тему.

В любом случае, это ограничение на одновременную информацию приводит к эффекту компромисса : как только вы требуете информацию для одной половины пары параметров после определенной точки, она начинает исключать информацию из другой половины пары. Если вы попытаетесь получить больше информации, чем уже имеется в этой половине, вы уничтожите часть информации в другой половине.

И формула, которую вы упомянули, на самом деле связана именно с этим. Чтобы на самом деле описать, как получить его, следуя этим строкам, потребуется немного больше математики, чтобы отдать должное, но описание простым языком выглядит так. Поскольку мы установили, что существует компромисс между импульсом и информацией о положении, оказывается, что способкомпромисса — помните, мы говорили, что информации может не хватать по-разному — это «просто так» способ, при котором высокие информационные импульсы (т. е. резкое, узкое распределение вероятностей), намного превышающие порог компромисса, чтобы обусловить обширную потерю информации в позиции, проявляют такой проигрыш в позиционном распределении вероятностей, поскольку оно приобретает (упрощенно) волнообразный характер. И длина волны этих волн связана с высокоточным значением импульса приведенной выше формулой.

Что касается того , почему Вселенная обменивается информацией именно так, а не иначе, то это один из тех метафизических вопросов, а не физических. «Это построено / сформировано / во что бы вы ни верили таким образом», по крайней мере, учитывая степень наших знаний. Однако мы можем сказать, что если бы это было не так, то жизнь в том виде, в каком мы ее понимаем, не могла бы существовать, потому что эти информационные ограничения и компромиссы придают материи большую структуру, позволяя возникнуть всей сложности химии, а, следовательно, и биологии.