Что происходит, когда два тела сталкиваются с точки зрения динамики?

Вы правы, что это сложная проблема. Энергетические методы необходимы для определения контактной силы, поскольку кинетическая энергия запасается в энергии деформации («пружины») во время столкновения, когда оба тела деформируются.

Если тела предполагаются жесткими, контактная сила не определена. Как вы правильно заключаете из$a=\frac {\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}$, тела не могут мгновенно тормозиться (т.$t=0$). В действительности тела замедляются во время (и на расстоянии) деформации. Без деформации,$d =0= \frac {v'-v}{2}t$, и$F = \frac {\mathrm {dP}}{\mathrm {dt}}$, требовать$t = 0$и$F \to \infty$. Следовательно, для определения контактной силы между сталкивающимися телами необходимо решить проблему деформации.

Механика удара широко изучалась для инженерных приложений. Сложные задачи о столкновениях решаются численно с помощью механики сплошной среды и методов конечных элементов , как показано ниже.

На практике аналитические приближения возможны с простой геометрией (и консервативными предположениями) - это обсуждается ниже.

---

Подумайте о проблеме в трех временных шагах:

1) До контакта:

Оба тела имеют массу ($m_{1}, m_{2}$) и скорость ($v_{1,i}, v_{2,i}$).

2) Во время контакта:

Интервал времени начинается в момент контакта тел и заканчивается в момент$v_{f} = v_{1,f} = v_{2,f}$. Конечная скорость определяется законом сохранения импульса:

$$m_{1}(v_{f} - v_{1,i}) = m_{2}(v_{f} - v_{2,i}) \; \Rightarrow \; \therefore v_{f} = \frac {m_{1}v_{1,i}-m_{2}v_{2,i}}{m_{1}-m_{2}}$$ Затем примените закон сохранения энергии и предположите, что вся энергия хранится в энергии напряжения (где энергия не теряется на тепло, звук и т. д.). Энергия деформации аналогична энергии, запасенной в пружине , где эффективные константы пружины$k=\frac {EA}{L}$, зависят от геометрии и материала корпусов. $$\Delta E_{Kinetic} = E_{Strain}$$ $$[\frac {1}{2}m_{1}v_{1,i}^2 + \frac {1}{2}m_{2}v_{2,i}^2]_\text{i} - [\frac {1}{2}(m_{1} + m_{2})v_{f}^2]_\text{f} = \frac {1}{2}k_{1}\delta_{1}^2 + \frac {1}{2}k_{2}\delta_{2}^2$$ Пока нет возможности аналитически решить для перемещения обоих тел ($\delta = \delta_{1} + \delta_{2}$), инженеры упрощают задачу и решают$\delta$они заботятся о ¹ ; это консервативное предположение, потому что оно предсказывает более высокую контактную силу, чем если бы оба тела деформировались. $$[\frac {1}{2}m_{1}v_{1,i}^2 + \frac {1}{2}m_{2}v_{2,i}^2]_\text{i} - [\frac {1}{2}(m_{1} + m_{2})v_{f}^2]_\text{f} = \frac {1}{2}k\delta^2$$ $$\therefore \delta = \sqrt {\frac {[\frac {1}{2}m_{1}v_{1,i}^2 + \frac {1}{2}m_{2}v_{2,i}^2]_\text{i} - [\frac {1}{2}(m_{1} + m_{2})v_{f}^2]_\text{f}}{\frac {1}{2}k}}$$ Наконец, среднее контактное усилие определяется из: $$\boxed {\therefore F_{contact} = k\delta}$$ Аналогично тот же результат получается из кинематических уравнений: $$t = \frac {2\delta}{v_{f}-v_{i}} \;\Rightarrow \; a=\frac {v_{f}-v_{i}}{t} \; \Rightarrow \; \therefore F_{contact}=ma$$

3) После контакта.

Упругие столкновения идеализируются так, что вся кинетическая энергия сохраняется. Неупругие столкновения описывают реальные столкновения - часть кинетической энергии безвозвратно теряется из-за тепла, звука, пластической деформации и т. д., и результирующие конечные кинетические энергии ниже (чем предсказывает идеализированная упругая модель). Коэффициент реституции ($CoR$) применяется к закону сохранения импульса, чтобы отразить конечные скорости тел. Обратите внимание, что для упругих столкновений$CoR=1$. Хотя неупругие столкновения более точны,$CoR$часто неизвестен; поэтому столкновения предполагаются эластичными, чтобы обеспечить разумную оценку.

---

¹ «Проектирование машин: комплексный подход (2-е изд.)» — Роберт Л. Нортон.

Ускорение происходит из-за импульса, который представляет собой изменение импульса. Предполагая, что вы знаете скорость до и после, вы можете найти импульс, который представляет собой просто изменение импульса или интеграл от силы по времени.

$$\int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\, dt = \Delta\mathbf{p} = m \mathbf{v_2} - m \mathbf{v_1}$$

или проще

$$\mathbf{F}\Delta t = \Delta\mathbf{p} = m \mathbf{v_2} - m \mathbf{v_1}$$

Где$\Delta t$это время приложения силы. Обратите внимание, что это даст вам среднее ускорение, а не мгновенное.