Подсчет централизаторов матрицы над конечным полем с конкретным минимальным полиномом

Для$A\in M_n(k)$, легкий случай, когда минимальный многочлен$m\in k[x]$из$A$имеет степень$n$, т.е. когда есть какой-то$v\in k^n$такой, что$v,Av,A^2v,\ldots,A^{n-1}v$является основой$k^n$.

• Если$BA=AB$затем написать$Bv=\sum_{j=0}^{n-1} c_j A^j v=f(A)v$с$f\in k[x]$,

  Для всех$l$у нас будет$BA^l v=A^l B v=A^l f(A)v= f(A)A^l v$.

  Так что на самом деле$B=f(A)$.

• И наоборот, если$B=f(A)$с$f\in k[x]$тогда очевидно$B$коммутирует с$A$.

• Элементы$GL_n(k)$поездка с$A$будут такие, что$f$взаимно прост с$m$.

Вы говорите, что установили, что любая матрица, коммутирующая с$A$имеет форму$B=bI+aA+cA^2$; поэтому централизатор$A$это кольцо$\mathbb{F}_5[A]$. Ядро гомоморфизма$\epsilon_A:\mathbb{F}_5[X]\to\mathbb{F}_5[A]$данный$f(X)\mapsto f(A)$просто$\langle X^3-1\rangle$так что централизатор$A$(изоморфно) кольцу$\mathbb{F}_5[X]/\langle X^3-1\rangle$. [Лично я бы не отказался от слов «изоморфен» здесь.]

Теперь закончилось$\mathbb{F}_5$у нас есть это$X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$как произведение различных неприводимых факторов. Таким образом, по китайской теореме об остатках мы имеем, что

$$\mathbb{F}_5[X]/\langle X^3-1\rangle\simeq \mathbb{F}_5[X]/\langle X-1\rangle\oplus \mathbb{F}_5[X]/\langle X^2+X+1\rangle.$$ Как$X-1$и$X^2+X+1$неприводимы, то каждый из этих факторов является полем, так что наш централизатор изоморфен $$\mathbb{F}_5\oplus\mathbb{F}_{25}.$$

Обобщая это, должны быть осложнения, когда$m_A(X)$имеет повторяющиеся нередуцируемые факторы.