Что такое когерентность в квантовой механике?

Когерентное (или чистое) состояние

Рассмотрим 2 основных состояния$\lvert0\rangle$и$\lvert1\rangle$. (Если вы никогда не слышали о состояниях, относитесь к ним как к обычным комплексным векторам.) Здесь мы предполагаем, что$\lvert0\rangle$и$\lvert1\rangle$ортогональны ($\langle 0\lvert1\rangle =0$).

Теперь рассмотрим$\lvert c\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (\lvert0\rangle + e ^{i\phi}\lvert1\rangle)$.

$\lvert c\rangle$является (нормализованным) когерентным состоянием, поскольку фаза$\phi$постоянно.

Мы можем посмотреть на матрицу плотности, определяемую как$\rho = \lvert c\rangle \langle c\lvert$(то есть$\langle i\lvert\rho\lvert j\rangle=\rho_{ij} = c_i^* c_j$, с$c_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}, c_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}e ^{i\phi}$). У нас есть:

$$\rho =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&e ^{i\phi}\\e ^{-i\phi}&1 \end{pmatrix}. \tag{1}$$

Эта матрица плотности описывает когерентное состояние. Вы можете убедиться, что$\rho^2 = \rho$, то есть$\rho$является проектором на когерентное состояние$\lvert c\rangle$.

Теперь предположим, что фаза$\phi$является случайным (то есть: разность фаз между$c_1$и$c_2$является случайным), поэтому среднее математическое ожидание$e ^{i\phi}$равно нулю, и у нас есть матрица плотности:

$$\rho' =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}. \tag{2}$$

Матрица плотности$\rho'$больше не представляет когерентного состояния, это просто классический закон статистической вероятности. Недиагональные элементы матрицы$\rho$исчез.

В двух случаях мы имеем дело только с одной частицей, и вероятности найти частицу в$\lvert0\rangle$государство или$\lvert1\rangle$состояние, одинаковые и$\frac{1}{2}$.

$$\langle 0\lvert\rho\lvert0\rangle= \langle 1\lvert\rho\lvert1\rangle= \langle 0\lvert\rho'\lvert0\rangle= \langle 1\lvert\rho'\lvert1\rangle = \frac{1}{2}. \tag{3}$$

запутанность

Запутанность составляет не менее$2$частицы, например чистое состояние

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert0\rangle\lvert0\rangle+\lvert1\rangle\lvert1\rangle )\tag{4}$$ является максимально двухчастично запутанным состоянием.

Из данного запутанного состояния вы можете рассчитать корреляции для совместного измерения двух частиц.

Похоже, что эти запутанные квантовые корреляции сильнее, чем классические статистические корреляции.

Корреляции не означают, что вы можете мгновенно обмениваться информацией; см. также этот предыдущий ответ .

Что такое когерентность и квантовая запутанность? Означает ли это, что две частицы одинаковы?

Нет, когерентность означает математическое отношение, которое остается неизменным. Запутанность связана с когерентностью, так как это описание частиц, которые имеют инвариантные отношения во времени и пространстве.

Повседневное описание запутанности будет следующим: группа близнецов, мальчик и девочка, двигаются в противоположных направлениях, один живет в Калифорнии, другой в Нью-Йорке. Если вы встретите мальчика в Калифорнии, вы сразу узнаете, что другой близнец в Нью-Йорке — девочка. Никакая информация не передавалась по земле с какой-либо скоростью, кроме предшествующего знания о том, что между этими двумя людьми существовала неизменная связь.

Я прочитал это в книге Мичио Каку «Физика невозможного». Он говорит, что две частицы ведут себя одинаково, даже если они разделены. Он также говорит, что это полезно при телепортации. Как это возможно? Может кто-нибудь объяснить?

Надеюсь, это плохая транскрипция того, что он должен был сказать. Он, должно быть, сказал, что запутанные частицы позволяют мгновенно узнать по обнаружению одной из них состояние другой. Это тривиально, как показывает мой пример с близнецами, и не несет в себе полезного смысла, даже если телепортация существовала, а ее нет. Звучит как научно-фантастическая книга для меня.

Теперь когерентность в квантовой механике обусловлена ​​природой волновых функций , которые описывают лежащий в основе слой частиц и молекул. Это синусоидальные функции, что означает, что они имеют не только амплитуду (меру), но и фазу. Когерентность означает, что фазы волновой функции остаются постоянными между когерентными частицами.

Когерентность также существует в классических измерениях везде, где есть синусоидальные функции, описывающие ситуацию. Резонансы могут накапливаться когерентно, как в кричащем громкоговорителе или микрофоне. Говорят, что солдаты ломают шаг, переходя старые мосты, чтобы амплитуда ударов их ног о землю не складывалась и не разрушала мост.

Я думаю, что более простой ответ был бы полезен.

Когда мы думаем о частицах и волновых функциях, мы думаем, что каждая частица имеет свою собственную волновую функцию.$\psi(x)$- тенденция к нахождению частицы в каком-либо положении$x$. Когда у нас есть две частицы, естественно думать, что у нас есть две волновые функции,$\psi_1(x)$и$\psi_2(x)$, каждый из которых описывает свою собственную частицу. Но запутанность — это утверждение о том, что мы должны описывать две частицы одной волновой функцией.$\psi(x_1, x_2)$вместо. Другими словами, мера тенденции частицы 1 находиться в положении$x_1$КОГДА частица 2 находится в положении$x_2$.

Есть много предостережений по этому поводу, и я надеюсь, технически подкованные простят их упущение.

Теперь, поскольку у частиц может быть больше, чем просто положение, мы можем сделать то же самое со вращением микса. Позволять$\psi(s_1, s_2)$дать тенденцию частице 1 иметь спин$s_1$(вверх или вниз) и частица 2, чтобы иметь спин$s_2$и т. д. Волновая функция по-прежнему зависит от положения, но я на мгновение проигнорировал ее. Затем предположим, что мы измерили спин частицы 2 и обнаружили, что она направлена ​​вверх. Поскольку две частицы описываются одной и той же функцией, мы знаем, что тенденция частицы 1 находиться в определенном состоянии$s_1$является$\psi(s_1, up)$. Следовательно, знание состояния второй частицы повлияло на поведение первой частицы. В этом суть запутанности.

Мы можем сделать то же самое с одной частицей и сказать, что ее спин и ее положение запутаны. Точно так же мы можем описать столько частиц, сколько пожелаем. Лучше думать, что существует одна и только одна волновая функция, описывающая все частицы во Вселенной. Причина, по которой нам иногда удается обойтись без одночастичных волновых функций, заключается в том, что эта «большая» волновая функция часто аккуратно превращается в произведение волновых функций. Например, если две частицы не запутаны, то мы можем написать$\psi(x_1, x_2) = \psi_1(x_1) \times \psi_2(x_2)$. Это, очевидно, не всегда так.

Запутанное состояние хорошо определено математически. Взгляд на это через эту призму должен демистифицировать этот вопрос. Предположим, у вас есть система из двух частей, описанная пространствами состояний$H_{1}\otimes H_{2}$. Любой вектор из пространства имеет вид

$\left | \psi \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} c_{i,j} ( \left | \phi_{i} \right \rangle \left | \varphi _{j} \right \rangle)$, (1)

куда$\left | \phi_{i} \right \rangle$является основой$H_{1}$и$\left | \varphi _{j} \right \rangle$является основой$H_{2}$. Разделимое (не запутанное) состояние определяется как состояние, для которого можно найти векторы$\left | \phi \right \rangle \in H_{1}$,$\left | \varphi \right \rangle \in H_{2}$такой, что

$\left | \psi \right \rangle = \left | \phi \right \rangle \left | \varphi \right \rangle$.

С$\left | \phi \right \rangle \in H_{1}$и$\left | \varphi \right \rangle \in H_{2}$имеем следующие базисные представления:

$\left | \phi \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} \left | \phi_{i} \right \rangle$,

$\left | \varphi \right \rangle = \sum_{j=1}^{m} c_{i,j} \left | \varphi _{j} \right \rangle$.

если вы примените определение тензорного произведения и «умножите их», вы получите:

$\left | \psi \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i}b_{j} ( \left | \phi_{i} \right \rangle \left | \varphi _{j} \right \rangle)$. (2)

Если вы сравните (1) и (2), вы увидите, что для того, чтобы состояние было разделимым, вам нужно, чтобы коэффициенты были связаны следующим образом:

$c_{i,j} = a_{i}b_{j}$для всех$i, j$. (3)

Следующий пример, надеюсь, прояснит ситуацию. Предположим, вам нужно решить, является ли сепарабельным следующее состояние:

$\left | \psi \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\left | 00 \right \rangle + \left | 11 \right \rangle)$.

Если предположить, что это состояние возникло как продукт двух «элементарных» состояний из$H_{1}$,$H_{2}$вы получите противоречие (т. е. не существует такого набора коэффициентов, для которого выполняется (3)). Это показывает нам, что состояние неотделимо (т.е. запутано). Основные выводы:

1) Есть «больше» векторов в$H_{1}\otimes H_{2}$то только формы$\left | \psi \right \rangle = \left | \phi \right \rangle \left | \varphi \right \rangle$.

2) Запутанные состояния имеют «особую структуру». Предположим, вы выполнили бы измерение фон Неймана на первом кубите состояния$\left | \psi \right \rangle$. Независимо от того, какой результат вы получите, вы свернете вторую часть системы в любое состояние.$\left | 0 \right \rangle$или$\left | 1 \right \rangle$. Именно благодаря этой взаимозависимости эти типы состояний получили свое название.