Сохранение квантовой когерентности?

Нет, когерентность не сохраняется при унитарных преобразованиях, вообще говоря . Легче всего увидеть это на простом примере. Рассмотрим одномерный квантовый гармонический осциллятор с гамильтонианом ($\hbar = 1$)

$$H = \omega a^\dagger a,$$ обладающие энергетическими собственными состояниями $H\lvert n\rangle = n\omega \lvert n\rangle$. Теперь когерентность (в обычном смысле этого слова) может быть определена только по отношению к конкретному выбору базиса. В квантовой оптике, при изучении наномеханических осцилляторов и во многих других приложениях квантового гармонического осциллятора когерентность обычно определяется относительно собственного базиса энергии. то есть государство $\rho$обладает когерентностью, если его разложение по собственному базису энергии $$\rho = \sum_{m,n} \rho_{mn} \lvert m \rangle \langle n\rvert,$$ имеет хотя бы один член, где $\rho_{mn}\neq 0$для $m\neq n$. Действительно, такой термин технически называется когерентностью ( в собственном базисе энергии).

Таким образом, основное состояние системы$\lvert 0 \rangle$не обладает когерентностью. С другой стороны, когерентное состояние $\lvert \alpha\rangle$, такой, что$a \lvert \alpha\rangle = \alpha \lvert \alpha \rangle$, обладает большой связностью (сюрприз!). Однако они связаны унитарным преобразованием, хорошо известной операцией унитарного смещения $\lvert \alpha\rangle = D(\alpha)\lvert 0 \rangle$, где

$$D(\alpha) = \exp \left ( \alpha a^\dagger - \alpha^* a \right ),$$ и ясно $D^\dagger(\alpha) D(\alpha) = 1$. Мера согласованности $C(\rho)$Таким образом, выполнение условия OP 1 подразумевает $$C(\lvert \alpha \rangle \langle \alpha \rvert) = C(D(\alpha)\lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert D^\dagger(\alpha)) = C(\lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert ).$$ Поэтому $C(\rho)$является довольно плохой мерой, поскольку она приписывает одинаковую степень «когерентности» вакуумному состоянию (обычно считается, что оно не имеет когерентности) и когерентному состоянию (обычно считается, что оно имеет «максимальную» когерентность).

Несложно обобщить это на многочастные системы. Обнаруживается, что, например,$C(\rho)$приписывает одинаковое количество «когерентности» максимально запутанным чистым состояниям и разделимым чистым состояниям. Опять же, это прямо противоположно тому, что обычно называют когерентностью.

В целом мы видим, что никакая разумная мера когерентности не может быть инвариантной относительно всех унитарных преобразований. На самом деле мера когерентности должна быть вообще инвариантной только относительно унитарных величин, диагональных в выбранном базисе отсчета (то есть собственном базисе энергии в этих примерах).

Если мы понимаем когерентность как «когерентную суперпозицию», то да, когерентность в определенном смысле сохраняется.

Простая суперпозиция двух состояний развивается унитарно как

$$\alpha\;|a\rangle + \beta\;|b\rangle \;\; \rightarrow\;\; \alpha\;e^{-iHt}|a\rangle + \beta\;e^{-iHt}|b\rangle \equiv \alpha\;|a(t)\rangle + \beta\;|b(t)\rangle$$ поэтому мы можем сказать, что в любой момент времени относительная фаза эволюционировавших компонентов $|a(t)\rangle$и $|b(t)\rangle$совпадает с относительной фазой исходных компонентов $|a\rangle$и $|b\rangle$.

Фактически то же самое относится и к элементам матрицы плотности смешанных состояний. У нас есть$\rho(t) = e^{-iHt} \rho(0) e^{iHt}$, но и

$$\langle a(t) |\rho(t)|b(t)\rangle = \langle a |\rho(0)|b\rangle$$

Далее, в невзаимодействующей двудольной системе, эволюционирующей под действием гамильтониана$H = H_A + H_B$, относительная фаза вкладов в полное чистое состояние сохраняется в том смысле, что

$$|\Psi_{AB}(0)\rangle = \alpha\;|\psi_A \otimes \psi_B\rangle + \beta\;|\phi_A \otimes \phi_B\rangle \;\; \rightarrow\;\; |\Psi_{AB}(t)\rangle = \alpha\;|\psi_A(t) \otimes \psi_B(t)\rangle + \beta\;|\phi_A(t) \otimes \phi_B(t)\rangle$$ где $$\alpha\;|\psi_A(t) \otimes \psi_B(t)\rangle + \beta\;|\phi_A(t) \otimes \phi_B(t)\rangle \equiv \alpha\;e^{-iHt}|\psi_A \otimes \psi_B\rangle + \beta\;e^{-iHt}|\phi_A \otimes \phi_B\rangle$$ для $$|\psi_A(t)\rangle = e^{-iH_At}|\psi_A\rangle, \;\; |\phi_A(t)\rangle = e^{-iH_At}|\phi_A\rangle\\ |\psi_B(t)\rangle = e^{-iH_Bt}|\psi_A\rangle, \;\; |\phi_B(t)\rangle = e^{-iH_Bt}|\phi_A\rangle$$ И хотя в этом случае состояния подсистем А и В являются уже не «когерентными» чистыми состояниями, а «некогерентными» смешанными состояниями, $\rho_{A(B)} = Tr_{B(A)}|\Psi_{AB}\rangle\langle \Psi_{AB}|$, можно сказать, что некоторая степень когерентности все еще сохраняется во времени даже в смешанных состояниях, поскольку их матричные элементы все еще удовлетворяют $$\langle \psi_A(t) |\rho_A(t)|\psi_A(t)\rangle = \langle \psi_A |\rho_A(0)|\psi_A\rangle,\;\;\;\langle \psi_A(t) |\rho_A(t)|\phi_A(t)\rangle = \langle \psi_A |\rho_A(0)|\phi_A\rangle\;\;, \text{etc}$$ и аналогично для Б.

Обратите внимание, однако, что мы не можем говорить об одной сохраняющейся величине, представляющей когерентность. Мы можем только сказать, что унитарная эволюция сохраняет относительные фазовые соотношения между унитарно эволюционировавшими чистыми состояниями, как в суперпозициях чистых состояний, так и в смешанных состояниях.