Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Набор квантовых состояний р в д размерности — это множество положительно полуопределенных операторов, живущих в гильбертовом пространстве размерности д . Обозначим это множество через Поз. ( Икс ) и заметим, что это выпуклое множество. Выпуклость наблюдается и в других интересных множествах, например, множестве сепарабельных состояний С , набор состояний PPT п и так далее.

У меня есть интуиция, согласно некоторым аргументам симметрии, максимально смешанное состояние, то есть тождественный оператор (который находится в С , п и Поз. ( Икс ) ) должен находиться в геометрическом центре этих множеств, скажем, если мы используем разумные вещи, такие как 2-норма, для определения расстояния. Ведь максимально смешанное состояние — это (грубо говоря) смесь всех состояний гильбертова пространства.

Для одного кубита, если смотреть на сферу Блоха, это действительно так! Максимально смешанное состояние находится в центре сферы.

К сожалению, эта картина кажется обманчивой в более общих случаях. В соответствии с этим вы получите очень красивую геометрическую картину концентрических многообразий для сепарабельных состояний, состояний PPT и всех квантовых состояний, а это (насколько я могу судить) не так. Посмотрите на это изображение, где автор намеренно делает наборы неконцентрическими, что противоречит моей интуиции.введите описание изображения здесь

Кто-нибудь лучше понимает форму выпуклых наборов квантовых состояний? И есть ли веская причина понять, почему максимально смешанное состояние не находится в центре множества состояний?

Почему бы и нет? (И вы предполагаете трассировку 1?)
@NorbertSchuch, да, я предполагаю трассировку 1 для всех состояний, о которых я говорю. Не могли бы вы уточнить, почему это важно? Я думал, что это так только из-за неконцентричности изображения, которое я прикрепил. Вы говорите, что правильная картина та, где все показанные наборы имеют один и тот же центр, что соответствует максимально смешанному состоянию?
Если это не трасса 1, то максимально смешанное состояние (с трассой 1) заведомо не в центре. Число 1 ни в коем случае не является особенным. Почему бы не 17*максимально смешанное состояние. Но теперь я лучше понимаю ваш вопрос, картинка помогла. По сути, вы спрашиваете: «Как я могу согласовать максимальное смешанное состояние, находящееся в центре, с этими неконцентрическими изображениями?» -- это верно?
Да, это был вопрос. Спасибо за ответ!

Ответы (1)

Операторы плотности живут в реальном векторном пространстве. Рассмотрим операторы р , р ≥ 0 , т р р "=" 1 из любого набора С вы упоминаете (все операторы плотности, разделяемые или PPT).

Учитывая состояние р е С , мы можем записать это как

р "=" 1 д 1 1 + Икс   ,
с бесследовым эрмитовым оператором Икс . Если р были в центре набора, то и государство
р ′ "=" 1 д 1 1 − Икс
должен быть в комплекте.

Теперь рассмотрим (двудольное) состояние чистого произведения р "=" | 00 ⟩ ⟨ 00 | , который содержится во всех трех множествах (и, по сути, на границе всех трех множеств, как внизу вашего рисунка). В таком случае,

р ′ "=" 2 д 1 1 − | 00 ⟩ ⟨ 00 |   ,
который имеет отрицательное собственное значение 2 д − 1 (Обратите внимание, что д ≥ 4 -- и даже если мы не рассматриваем двудольные системы, д ≥ 3 , поскольку вы уже заметили, что для сферы Блоха все работает). Поэтому мы видим, что р ′ не входит ни в одно из множеств, т. е. множества не симметричны относительно центра!

Было бы поучительно разработать критерий PPT или отделимость для этого или родственных примеров в этом направлении.

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v