Что такое орбифолды и чем они полезны и интересны для физики?

Орбифолды – это пространства типа$O = M/G$куда$M$является многообразием и$G$группа, действующая несвободно на$M$. То есть существуют неподвижные точки (или, в более общем смысле, подмногообразия этого действия); т.е. точки$x \in M$такой, что$G.x = x$для всех$G$. Эти неподвижные точки называются особыми точками, они обладают тем свойством, что в них расходятся геометрические объекты (например, метрика).

Простейшим примером орбифолда является$S^1/\mathbb{Z}_2$, куда$\mathbb{Z}_2$является группой отражения относительно некоторой оси. Конусы представляют собой другой пример орбифолдов, вершины которых являются особыми точками.

Эти пространства очень интересны в физике, поскольку конфигурационное и фазовое пространства калибровочных систем являются орбифолдами после устранения калибровочной избыточности. Пожалуйста, ознакомьтесь со следующей основополагающей работой : Emmrich snd Römer.

Даже когда особые точки орбифолда изолированы, например, в случае конусов. Квантовая механика (в отличие от классической механики) очень чувствительна к существованию этих неподвижных точек, и волновые функции имеют тенденцию концентрироваться вблизи особых точек.

Позвольте мне сосредоточиться на вашем вопросе 2: было высказано предположение, что ограничения преобразования симметрии в подходе орбифолдов оказались полезными для классификации или различения классов различий тривиальных (SPT) состояний с защитой симметрии или топологических (SPT) состояний с защитой симметрии . . Таким образом, орбифолды могут быть полезны в физике конденсированного состояния, изучающей (тривиальные или внутренние) топологические порядки .

Состояния SPT имеют объемные фазы с промежутками и краевые состояния без промежутков, защищенные глобальной симметрией.$G_s$. Можно представить себе реализацию$G_s$симметрии на бесщелевых краевых состояниях, т.е.$G_s$симметрии на какой-то конформной теории поля (CFT).

В этой статье: Топологические фазы и орбифолды, защищенные симметрией: Обобщенный аргумент Лафлина-1305.0700 , есть несколько интуитивных шагов в этом направлении с использованием орбифолдов для классификации состояний SPT.

В этой статье: многочастичный эффект Ааронова-Бома с защитой симметрии-1310.8291 , явная дискретная решеточная гамильтонова конструкция краевых состояний СПД (с$\mathbb{Z}_N$симметрии, если быть точным), выводится, соединяясь с континуальной CFT или теорией киральных бозонов некоторой объемной теории Черна-Саймонса. Таким образом, можно использовать численные методы для извлечения конформных башен первичных полей и их потомков КТП. Было обнаружено, что аналитические и численные результаты согласуются для (скрученных / нескрученных) расчетов теории поля (скрученные случаи здесь являются более общей формой, чем обычная тороидальная компактификация) масштабной размерности$\Delta$, как для скрученной/раскрученной теории (здесь имеется в виду, что с/без вставки внешнего калибровочного поля, т.е. такого как магнитный поток).

Суть вышеизложенного состоит в том, что наложение (глобальной) симметрии на состояния многих тел в некотором смысле связано с делом орбифолдов.