Подмногообразия постоянной энтропии запутанности

Question

Подмногообразия постоянной энтропии запутанности

ззз

В гильбертовом пространстве $A \otimes B$ , матрица плотности $\rho: A \rightarrow A$ связала с ним энтропию запутанности $S(\rho)$ .

Вопрос : Каково описание набора всех состояний? $\rho'$ такой, что $S(\rho) = S(\rho')$ ?

Если ответ не очевиден, вот несколько подвопросов.

Обозначение

Позволять $H(A)$ пространство матриц плотности $A \to A$ . Это топологическое пространство посредством вложения в пространство линейных автоморфизмов.
За $\rho \in H(A)$ , обозначим через $[\rho] \subset H(A)$ классы эквивалентности отношения, заданного эквивалентностью энтропии запутывания.

р \sim р^{'} ⟺ С (р) "=" С (р^{'})

$\rho \sim \rho' \iff S(\rho) = S(\rho')$

Подвопросы

Существует ли транзитивное групповое действие на $[\rho]$ ? (Кажется, я где-то читал, что унитарные карты сохраняют энтропию запутанности. Являются ли они транзитивными в этих классах эквивалентности?)
Частная карта $H(A) \xrightarrow{\pi} (H(A)/\sim)$ расслоение?
Топологически $[\rho]$ компактный? У них есть граница?
Является $[\rho]$ связанный? Как выглядит подключенный компонент?
Существуют ли бесконечно малые деформации состояния $\rho$ которые сохраняют энтропию? Эквивалентно классы $[\rho]$ вероятно, наследуют гладкую структуру, что такое касательные пространства? В том же ключе, существует ли теория препятствий для поднятия этих деформаций 1-го порядка до деформаций более высокого порядка?
Следующее не является строгим. Энтропию запутанности часто вычисляют в сценарии непрерывной решетки, например, в КТП. Здесь рассматривается, скажем, компактная ориентируемая поверхность, выбирается замкнутая кривая $\gamma$ в тривиальном классе гомологии и рассмотрим энтропию запутанности состояния в «пространстве состояний, ограниченном кривой». Существуют стандартные методы CFT (вероятно, из-за Карди?) для их вычисления, например, трюк с репликами. В этих сценариях, кроме вопросов выше, можно задать следующие. Зафиксировав состояние, есть ли деформации $\gamma$ которые сохраняют энтропию запутанности?
В более общем случае, в других сценариях можно вычислить некоторое понятие энтропии (например, энтропия Шеннона/Фон Неймана в классической вероятности), есть ли ответы на приведенные выше вопросы?
Спекулятивный: если ответы на все вышеперечисленные вопросы положительны, можно было бы дополнительно попросить симплектическую структуру на $H(A)$ при котором частное является лагранжевым расслоением с лагранжевыми слоями. Что-нибудь подобное известно?

Упражнение/Интуиция

Сфера Блоха (редактирование: это было сделано @Noiralef ниже):

Должно быть несложно вычислить эти поверхности уровня функции энтропии запутанности на сфере Блоха, что может обеспечить интуицию для более общей ситуации. Хотя в комментариях было упомянуто, что в этом особом случае можно ожидать, что унитарии будут транзитивными, чего в общем случае не будет.

Энтропия Шеннона

Есть еще одно хорошее вычисление, которое можно сделать. Рассмотрим классическую вероятностную модель с конечным числом переменных, пространство состояний в $n$ -переменные - это $n-1$ симплекс в евклидовом пространстве. Обратите внимание, что энтропия Шеннона имеет $S_{n-1}$ симметрии путем замены любой пары переменных. Следовательно, при выполнении частного типа, описанного выше, вы обязательно получите орбифолд (или DM-стек).

На самом деле похоже, что в данном случае это тоже функции Морса, поэтому, как обычно, слои отображения вырождаются в критических точках. Вместе с приведенным выше наблюдением похоже, что мы должны делать эквивариантную теорию Морса.

вероятно_кто-то

Многие из этих вопросов меня интересовали и в информационно-теоретическом контексте; многие вопросы, связанные с матрицами плотности, операторами и энтропией запутанности, также можно сформулировать в терминах распределения вероятностей, карт, сохраняющих полную вероятность, и информационной энтропии.

Н. Дева

Я надеюсь, что вы получите хороший ответ здесь. Но если вы этого не сделаете, вы также можете попробовать mathoverflow.

ззз

@ Натаниэль, да, думал об этом, не уверен, что MathOverflow много знает об энтропии запутанности, но, возможно, версия этого вопроса только для «энтропии» подойдет туда.

Норберт Шух

@bianchira «Энтропия запутанности» в данном случае (оператор плотности в одной системе) не имеет ничего общего с запутанностью. Это просто энтропия собственных значений положительного полуопределенного оператора

ρ

$\rho$ . Учитывая математический характер ваших вопросов, МО может быть лучшим местом. (и вроде ответно.) ---- И кстати, кто использует " энтропию запутанности "? Инфляционное использование этого термина для меня полная загадка.

Норберт Шух

И нет, унитарные не транзитивны, поскольку сохраняют весь спектр. (За исключением кубитов, конечно.) Но что вы подразумеваете под групповым действием? Какая группа? Любая группа?

Норберт Шух

Более важный вопрос: есть ли причина , по которой вы хотите знать все эти вещи? Может быть, это проще уточнить.

ззз

@NorbertSchuch более важный вопрос: я думаю, что вопрос о том, «когда две системы имеют одинаковую энтропию», является вполне естественным, и что попытка понять геометрию таких классов является четкой формулировкой этого вопроса. Да, под групповым действием я подразумеваю любую группу. Насчет терминологии согласен.

Норберт Шух

@bianchira Почему это естественно? Почему вы ожидаете связи между двумя системами с одинаковой энтропией? Кубит и сосуд с газом, если бы они имели одинаковую энтропию, каким образом они были бы связаны и что бы это нам сказало? --- Но если вам нужен более простой вопрос в том же духе, вы могли бы, например, начать с той же энтропии 2-Реньи, т. е. квадрат суммы собственных значений одинаков. Это звучит как хорошее состояние.

ззз

Эта функция энтропии является гладкой функцией, и я спрашиваю о топологии ее наборов уровней. Это естественно, потому что он буквально спрашивает о том, как выглядит функция. Спасибо за предложение.

Норберт Шух

Кстати, я не понимаю вашего сюжета: для матриц плотности у нас есть

t r (ρ) = 1

$\mathrm{tr}(\rho)=1$ . Нет двух независимых параметров. [Примечание в сторону: если вы не используете @, я не получаю уведомления о вашем комментарии.] --- Моя точка зрения о естественности заключалась в том, является ли она физически естественной, в чем я не уверен. В противном случае, это, безусловно, вопрос, который вы должны задать на МО!

ззз

@NorbertSchuch Ах, верно, сюжет, вероятно, неправильный, я его уберу.

Райан Торнгрен

Возможно, самая простая первая подзадача состоит в том, чтобы просто исправить ранг Шмидта r. Тогда вопрос обо всех тензорах вида

a_{1} \otimes b_{1} + \dots + a_{r} \otimes b_{r}

$a_1 \otimes b_1 + \cdots + a_r \otimes b_r$ . Я подозреваю, что ваше пространство находится внутри этого пространства как «часть нормы 1».

Ответы (1)

Подмногообразия постоянной энтропии запутанности

Многие из этих вопросов меня интересовали и в информационно-теоретическом контексте; многие вопросы, связанные с матрицами плотности, операторами и энтропией запутанности, также можно сформулировать в терминах распределения вероятностей, карт, сохраняющих полную вероятность, и информационной энтропии.
Я надеюсь, что вы получите хороший ответ здесь. Но если вы этого не сделаете, вы также можете попробовать mathoverflow.
@ Натаниэль, да, думал об этом, не уверен, что MathOverflow много знает об энтропии запутанности, но, возможно, версия этого вопроса только для «энтропии» подойдет туда.
@bianchira «Энтропия запутанности» в данном случае (оператор плотности в одной системе) не имеет ничего общего с запутанностью. Это просто энтропия собственных значений положительного полуопределенного оператора $\rho$ . Учитывая математический характер ваших вопросов, МО может быть лучшим местом. (и вроде ответно.) ---- И кстати, кто использует " энтропию запутанности "? Инфляционное использование этого термина для меня полная загадка.
И нет, унитарные не транзитивны, поскольку сохраняют весь спектр. (За исключением кубитов, конечно.) Но что вы подразумеваете под групповым действием? Какая группа? Любая группа?
Более важный вопрос: есть ли причина , по которой вы хотите знать все эти вещи? Может быть, это проще уточнить.
@NorbertSchuch более важный вопрос: я думаю, что вопрос о том, «когда две системы имеют одинаковую энтропию», является вполне естественным, и что попытка понять геометрию таких классов является четкой формулировкой этого вопроса. Да, под групповым действием я подразумеваю любую группу. Насчет терминологии согласен.
@bianchira Почему это естественно? Почему вы ожидаете связи между двумя системами с одинаковой энтропией? Кубит и сосуд с газом, если бы они имели одинаковую энтропию, каким образом они были бы связаны и что бы это нам сказало? --- Но если вам нужен более простой вопрос в том же духе, вы могли бы, например, начать с той же энтропии 2-Реньи, т. е. квадрат суммы собственных значений одинаков. Это звучит как хорошее состояние.
Эта функция энтропии является гладкой функцией, и я спрашиваю о топологии ее наборов уровней. Это естественно, потому что он буквально спрашивает о том, как выглядит функция. Спасибо за предложение.
Кстати, я не понимаю вашего сюжета: для матриц плотности у нас есть $\mathrm{tr}(\rho)=1$ . Нет двух независимых параметров. [Примечание в сторону: если вы не используете @, я не получаю уведомления о вашем комментарии.] --- Моя точка зрения о естественности заключалась в том, является ли она физически естественной, в чем я не уверен. В противном случае, это, безусловно, вопрос, который вы должны задать на МО!
@NorbertSchuch Ах, верно, сюжет, вероятно, неправильный, я его уберу.
Возможно, самая простая первая подзадача состоит в том, чтобы просто исправить ранг Шмидта r. Тогда вопрос обо всех тензорах вида $a_1 \otimes b_1 + \cdots + a_r \otimes b_r$ . Я подозреваю, что ваше пространство находится внутри этого пространства как «часть нормы 1».

Нуаралеф · Answer 1

Это будет только частичный ответ, потому что я даже не знаю всех этих слов. Но мне кажется, что вы «слишком сложно думаете» об этой теме, поэтому я надеюсь, что это будет полезно.

Прежде всего, вы говорите об «энтропии запутанности». Как уже упоминалось в комментариях, это слишком красивое слово: Ваше пространство. $B$ не играет никакой роли, мы просто говорим о гильбертовом пространстве $A$ и энтропия (фон Неймана) $S: H(A) \to \mathbb R$ .

Давайте сначала поговорим о кубите, $A = \mathbb C^2$ . $H(A)$ можно параметризовать блоховским вектором, т. е. запишем матрицу плотности $\rho \in H(A)$ в качестве

р знак равно \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + г & Икс - я у \\ Икс + я у & 1 - г \end{matrix}) .

$\rho = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1 + z & x - \mathrm i y \\ x + \mathrm i y & 1 - z \end{pmatrix} .$ Вектор Блоха

\vec{r} = (x, y, z)^{t}

$\vec r = (x, y, z)^t$ лежит в сфере Блоха

B^{2} = {\vec{r} \in R^{3} : | \vec{r} | \leq 1}

$B^2 = \{ \vec r \in \mathbb R^3: | \vec r | \leq 1 \}$ .

Некоторая простая алгебра говорит нам, что

\begin{matrix} (1) & С (р) "=" - тр (р журнал р) "=" - \frac{1}{2} журнал \frac{1 - | \vec{р} |^{2}}{4} - \frac{| \vec{р} |}{2} журнал \frac{1 + | \vec{р} |}{1 - | \vec{р} |} . \end{matrix}

$S(\rho) = -\operatorname{tr}(\rho \log \rho) = -\frac 1 2 \log \frac{1 - |\vec r|^2}{4} - \frac{|\vec r|}{2} \log \frac{1 + |\vec r|}{1 - |\vec r|} . \tag{1}$

S (ρ)

$S(\rho)$ зависит только от длины блоховского вектора

\vec{r}

$\vec r$ , и легко проверить, что (1) является строго убывающей функцией

| \vec{r} |

$|\vec r|$ (который

\log 2

$\log 2$ в максимально смешанном состоянии

\vec{r} = 0

$\vec r = 0$ и

0

$0$ в чистом состоянии с

| \vec{r} | = 1

$|\vec r| = 1$ ).

Поэтому класс эквивалентности $[\rho]$ точно оболочка $S^2(r) = \{ \vec r \in \mathbb R^3: |\vec r| = r \}$ (с $0 \leq r \leq 1$ ). Они компактны, не имеют границ, связаны и $\operatorname{SO}(3)$ действует на них транзитивно.

Продолжаем общий случай $A = \mathbb C^N$ . $H(A)$ может быть очень сложным геометрически : если мы параметризуем матрицу плотности с помощью обобщенного вектора Блоха, пространство допустимых параметров станет намного сложнее.

Хотя топологически особой разницы нет. $H(A)$ остается выпуклым компактом с границей, состоящей из чистых состояний. Позволять

{ЧАС}_{С} (А) знак равно {р е ЧАС (А) : С (р) \geq С},

$H_S(A) = \{ \rho \in H(A): S(\rho) \geq S \} ,$ затем

H (A) = H_{0} (A) \supset \dots \supset H_{\log N} (A)

$H(A) = H_0(A) \supset \cdots \supset H_{\log N}(A)$ является вложенным семейством выпуклых компактов (поскольку

S

$S$ — вогнутая функция), их границы — это ваши классы эквивалентности.

Все оболочки/классы эквивалентности $\partial H_S(A)$ - кроме самого внутреннего $H_{\log N}(A) = \{ \frac 1 N \mathbb 1 \}$ , являющееся лишь максимально смешанным состоянием, — гомеоморфны самой внешней оболочке $\partial H(A)$ чистых состояний. Для построения гомеоморфизма заметим, что луч из $\frac 1 N \mathbb 1$ через $\rho \in \partial H_S(A)$ хиты $\partial H(A)$ ровно один раз.

Итак, все классы эквивалентности совпадают с пространством чистых состояний $\partial H(A)$ . Чистое состояние задается вектором $0 \neq \psi \in A$ до эквивалентности $\psi \sim \lambda \psi\,$ ( $0 \neq \lambda \in \mathbb C$ ), поэтому $\partial H(A)$ просто проективный $\mathbb C P^{N-1}$ .

Спасибо за расчет сферы Блоха! Примерно этого я и ожидал в таком случае. Вы потеряли меня в последнем абзаце (моя вина, а не ваша, вероятно), но почему мы сейчас ограничиваемся только чистым состоянием? Или вы просто даете частичный ответ, который применим только к чистым состояниям?
@bianchira Я немного переписал последнюю часть, надеюсь, теперь ее легче понять.
Правильно, чтобы было ясно, ваше утверждение состоит в том, что все эти классы оболочки/эквивалентности выглядят как $CP^{n-1}$ ? Это действительно имело бы смысл.

Подмногообразия постоянной энтропии запутанности

ззз

вероятно_кто-то

Н. Дева

ззз

Норберт Шух

Норберт Шух

Норберт Шух

ззз

Норберт Шух

ззз

Норберт Шух

ззз

Райан Торнгрен

Ответы (1)

Нуаралеф

ззз

Нуаралеф

ззз

Откуда взялась «суперсимметрия» в доказательстве Виттена неравенств Морса?

Что такое орбифолды и чем они полезны и интересны для физики?

Комплексный тор, КАМ-теорема и диффеоморфизмы

Есть ли ограничения на построение топологии пространства-времени из дополнения открытых шаров?

Как определяется неполнота системы координат и пространства-времени?

Где в физике используется теорема Атьи-Зингера об индексе?

Кривизна конического пространства-времени

Квантовая механика на многообразии

Каким многообразием может быть фазовое пространство гамильтоновой системы?

Почему мы требуем, чтобы многообразия были топологическим пространством?