Почему квантовые наблюдаемые, определенные на открытых множествах, представляют собой предварительный пучок, а не пучок?

В локальной квантовой теории поля или АКПТ можно математически описать каждое открытое множество$U$пространства-времени$M$квантовые состояния или наблюдаемые теории. Эта структура обычно упоминается как предпучок или копраспучок.

Почему состояния (или наблюдаемые) над открытыми множествами не являются пучковой (копучковой) структурой?

Этот вопрос мотивирован следующими соображениями:

Сеть локальных наблюдаемых , которую можно грубо описать как копрепучок (C-звездных алгебр) на кусках пространства-времени, таких что алгебры,$A(U)$, назначенные причинно несвязанным областям, коммутируют внутри алгебры, назначенной любой совместной окрестности.

До сих пор мы по определению имеем коппучок.

Чтобы иметь пучок, нам нужно проверить следующие два условия:

1. (Местность) Если ($U_{i}$) является открытым покрытием открытого множества$U$, и если$s,t ∈ A(U)$таковы, что$s|U_{i} = t|U_{i}$для каждого набора$U_{i}$покрытия, то$s = t$

2. (Склеивание) Если ($U_{i}$) является открытым покрытием открытого множества$U$, а если для каждого$i$секция$s_{i} ∈ A(U_{i})$задано так, что для каждой пары$U_{i},U_{j}$покрытия накладывает ограничения$s_{i}$а также$s_{j}$соглашаемся на совпадения:$s_{i}|U_{i}∩U_{j} = s_{j}|U_{i}∩U_{j}$, то есть раздел$s ∈ A(U)$такой, что$s|U_{i} = s_{i}$для каждого$i$.

Условие склейки гарантирует существование сечения$s$которое условие локальности показывает, что оно уникально.

Очевидно, одно из этих условий или оба вообще не выполняются.

Меня интересовала бы физическая картина того, почему условия пучка не выполняются.

Для меня условие локальности интуитивно утверждает, что если наблюдаемые совпадают в каждой области, образующей открытое покрытие, то наблюдаемые (и qft) одинаковы в открытом покрытии. С другой стороны, условие склеивания устанавливает, что можно построить теорию, просто склеивая локальные части теории. Есть ли тогда какое-то нелокальное ограничение, которое, возможно, мешает нам строить теорию только из локальных частей?

Верны ли эти интуитивные предположения?