Что такое «поворотный момент» в WKB и почему он терпит неудачу в этот момент?

Классическая точка поворота — это точка, в которой полная энергия системы$E$равна потенциальной энергии$V.$Мимо этой точки, т.е. за$E<V$потенциал больше полной энергии, такие случаи мы обозначаем как классически запрещенные области , потому что с чисто классической точки зрения система имеет 0 шансов оказаться в состоянии, где ее потенциальная энергия больше, чем ее полная энергия или в другом слова с отрицательной кинетической энергией$E - V < 0.$

Чтобы понять, почему в этот момент приближение ВКБ не работает, вспомните независимую от времени форму уравнения Шредингера (давайте для упрощения будем работать с 1D):

$$\begin{align*} \frac{d^2\psi }{dx^2}+k^2(x)\psi(x)&= 0 \\ k^2(x) = \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))&=\frac{p^2(x)}{\hbar^2} \end{align*}$$ С $k(x)$волновой вектор и $p(x)$- локальный классический импульс, соответствующий классическому разложению энергии $E.$Теперь достаточно рассмотреть ВКБ-решения 0-го порядка, которые представляют собой плоские волны с амплитудами, не зависящими от $x$, следующее:

$$\psi(x)=Ae^{\pm iu(x)}$$ Что, если вы подставите в ТИСЭ и предположим, что медленно меняющееся $k(x)$то можно пренебречь второй производной от $u(x)$и решить для $u(x)$, который тогда является просто классическим интегралом действия: $$s(x)=u(x)\hbar = \pm \int^x p(x')dx'$$ Это подводит нас к нашему решению WKB 0-го порядка:

$$\psi_0 (x) = \exp \left[\pm i \int^x k(x')dx'\right]$$

Теперь нам нужно проверить справедливость этого решения, для этого вставляем$\psi_0(x)$вернемся к нашему первому уравнению ТИСЭ и получим:

$$\frac{d^2\psi_0}{dx^2}+ \left[k^2(x) \mp i\frac{dk}{dx}\right] \psi_0(x)=0$$ Из вышеприведенного результата теперь ясно, что для $\psi_0(x)$быть строгим решением (т.е. соответствовать допустимому решению нашей исходной ТИСЭ), то:

$$\begin{align*} \left\lvert \frac{dk}{dx} \right\rvert &<< k^2(x) \\ \left\lvert \frac{1}{k}\frac{dk}{dx} \right\rvert &<< k(x) \end{align*}$$ Условие, которое никогда не выполняется в точке поворота ( $k \to 0$) потому что $1/k$расходится. Это условие достоверности распространяется на решения WKB более высокого порядка, например, решение WKB 1-го порядка имеет тип:

$$\psi_1(x) = \frac{C}{\sqrt{k(x)}}\exp\left[\pm i \int^x k(x')dx'\right]$$ Снова классический переломный момент, когда $k \to 0$мы видим, что амплитуда взрывается, а волновая функция $\psi_1(x)$больше не является действительным (более подробную информацию по этому вопросу вы найдете здесь )

Теперь, когда вы пытаетесь применить WKB, интуиция такова, что в классически разрешенных областях ($E>V$), используются тригонометрические ВКБ-решения, а в классически запрещенных областях берутся экспоненциально затухающие решения (а не только нулевые, поскольку квантовая механика все еще допускает ненулевую вероятность нахождения системы в классически запрещенной области), все что, так что приближение остается физически разумным.