Подход Ландау и Лифшица (контурный метод) к формулам связи ВКБ

I) L&L относятся к линеаризованной модели, в которой ТИСЭ

$$\begin{align} \hbar^2\psi^{\prime\prime}(x) +P^2(x) \psi(x)~=~&0,\cr P(x)~:=~ \sqrt{2m (E-V(x))}~=~& |P(x)| e^{i\theta(x)}, \end{align} \tag{1}$$

становится дифференциальным уравнением Эйри . Рядом с поворотным моментом$x_0$, мы можем аппроксимировать квадратный импульс

$$\begin{align} P^2(x)~\approx~& \alpha (x\!-\!x_0), \cr (P^2)^{\prime}(x)~\approx~&\alpha~=~2mF_0 ~\neq~0,\end{align} \tag{2}$$

с аффинной функцией , где$\alpha\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$ненулевая действительная постоянная. (В примере L&L$\alpha < 0$является отрицательным).

II) Давайте сначала воспроизведем аргумент L&L. В классически разрешенной области$x<x_0$, L&L выбирают импульс$P^{>}>0$положительный. (верхние индексы$>$и$<$относятся к классически разрешенной и запрещенной областям соответственно.) Следовательно, волновая функция ВКБ (47.2) принимает вид

$$\begin{align} \psi^{>}~\stackrel{(47.2)}{=}&~\frac{1}{\sqrt{P^{>}}}\sum_{\pm}C_{\pm} \exp\left(\pm \frac{i}{\hbar}\int_{x_0}^x \! P^{>}~\mathrm{d}x\right) \cr ~=~&\frac{1}{\sqrt{|P|}} \sum_{\pm}C_{\pm} \exp\left( \mp \frac{2i\sqrt{|\alpha|}}{3\hbar}\left(x_0-x \right)^{\frac{3}{2}}\right)\cr & \qquad\text{for}\qquad x<x_0.\end{align}\tag{3}$$

III) L&L далее аналитически продолжает волновую функцию ВКБ (47.1) (которая справедлива в классически запрещенной области) вдоль (верхней/нижней) полуокружности в комплексе$x$-самолет

$$x-x_0~=~\rho e^{\pm i\phi} , \qquad \phi~\in~[0,\pi], \tag{47.4a}$$

для вывода формул связи ВКБ . L&L выбирает переменную импульса

$$\begin{align} P^{<}~=~&\sqrt{|\alpha|(x-x_0)}\cr ~=~&\sqrt{|\alpha|}\rho^{\frac{1}{2}} e^{\pm\frac{ i\phi}{2}}, \qquad \rho~>~0,\end{align}\tag{4}$$

так, чтобы он начинался положительно

$$\left. P^{<}\right|_{\phi=0} ~=~|P|~>~0. \tag{5}$$

Тогда аналитическое продолжение волновой функции ВКБ (47.1) принимает вид

$$\begin{align} \psi^{<}~\stackrel{(47.1)}{=}&~\frac{C}{2\sqrt{P^{<}}} \exp\left( -\frac{1}{\hbar}\int_{x_0}^x \! P^{<}~\mathrm{d}x\right)\cr ~=~&\frac{C}{2\sqrt{|P|}} \exp\left( -\frac{2\sqrt{|\alpha|}\rho^{\frac{3}{2}}e^{\pm\frac{ i3\phi}{2}} }{3\hbar} \mp i\frac{\phi}{4}\right). \end{align}\tag{6}$$

Установив$\phi=\pi$в уравнении (6), и сравнивая с волновой функцией ВКБ (3), из аналитического продолжения вдоль (верхней/нижней) полуокружности следует, что

$$\begin{align} C_2~\equiv~& C_-~=~\frac{C}{2}e^{-\frac{i\pi}{4}}, \tag{47.4b}\cr C_1~\equiv~& C_+~=~\frac{C}{2}e^{\frac{i\pi}{4}} , \tag{47.4c}\end{align}$$

соответственно. Это главный аргумент L&L. (Мы вернемся к вопросу о том, что происходит с другой ветвью, в разделе VII ниже.)

IV) В качестве альтернативы, поскольку функции Эйри имеют интегральное представление Фурье (см., например, мой ответ Math.SE здесь ), вместо этого можно использовать метод наискорейшего спуска для получения соответствующих асимптотических разложений по обе стороны от точки поворота. Интересно сравнить этот метод с приведенным выше аргументом L&L.

Можно показать, что волновая функция типа Эйри

$$\psi(x) ~=~ \sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}}\int_{\mathbb{R}-i~{\rm sgn}(\alpha)~\varepsilon} \! \mathrm{d}p~ \exp\left(\frac{i}{\hbar}S(p,x)\right),\tag{7}$$ $$\begin{align} S(p,x)~:=~& px - \tilde{S}(p), \cr \tilde{S}(p)~:=~& p\left(x_0+\frac{p^2}{3\alpha}\right),\end{align} \tag{8}$$ $$\begin{align} S^{\prime}(p,x)~=~&x-\tilde{S}^{\prime}(p)\cr ~=~& x\!-\!x_0 - \frac{p^2}{\alpha}\cr ~\stackrel{(2)}{\approx}~& \frac{P^2(x)-p^2}{\alpha},\end{align} \tag{9}$$ $$-S^{\prime\prime}(p,x)~=~\tilde{S}^{\prime\prime}(p)~=~ \frac{2p}{\alpha},\tag{10}$$

удовлетворяет ТИСЭ (1):

$$\begin{align} \hbar^2& \psi^{\prime\prime}(x) +P^2(x) \psi(x)\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}} \int_{\mathbb{R}-i~{\rm sgn}(\alpha)~\varepsilon} \! \mathrm{d}p~\left(P^2(x)- p^2\right) \exp\left(\frac{i}{\hbar}S(p,x)\right)\cr ~\stackrel{(9)}{\approx}~& -i \hbar \alpha\sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}} \int_{\mathbb{R}-i~{\rm sgn}(\alpha)~\varepsilon} \! \mathrm{d}p~\frac{d}{dp} \exp\left(\frac{i}{\hbar}S(p,x)\right)\cr ~=~&0 \end{align}\tag{11}$$

для выбранного контура в комплексе$p$-самолет.

V) Есть 2 критических момента:

$$\begin{align} p_{\sigma} ~=~& \sigma~ {\rm sgn}(\alpha)~P , \cr S_{\sigma}~=~& \frac{2\sigma P^3 }{3|\alpha|} , \cr S^{\prime\prime}_{\sigma}~=~& -2\sigma |\alpha| P , \cr \sigma ~\in~&\{\pm 1\}.\end{align} \tag{12}$$

Вклад наискорейшего спуска от каждой критической точки исходит от интеграла Гаусса :

$$\begin{align} I_{\sigma}~=~& \sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}} \sqrt{\frac{2\pi i\hbar}{S^{\prime\prime}_{\sigma} } } \exp\left(\frac{i S_{\sigma}}{\hbar}\right)\cr ~=~&\frac{1}{\sqrt{P}} \exp\left(\frac{2i\sigma P^3}{3\hbar |\alpha|} -\frac{i\sigma \pi}{4}\right)\cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{|P|}} \exp\left(\frac{2i\sigma |P|^3e^{3i\theta}}{3\hbar |\alpha|} -i\left(\frac{\sigma \pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)\right) \end{align} \tag{13}$$

с угловым направлением наискорейшего спуска$-\frac{\sigma \pi}{4}-\frac{\theta}{2}$.

$\uparrow$Рис. 1. Комплекс$p$-плоскость с 3 возможными контурами интегрирования${\cal C}_1$,${\cal C}_2$,${\cal C}_3$для$\alpha<0$. Заштрихованные области обозначают экспоненциально затухающие сектора. (Если$\alpha>0$, наоборот.) Так как подынтегральная функция является целой функцией в$p$,$p$-интегральные зависят только от монодромии контура. (Рисунок взят из ссылки [W].)

VI) Теперь вернемся к примеру L&L с$\alpha<0$.

Классически запретная область$x>x_0$: Тогда$P=\pm i|P|$, с$\theta=\pm \frac{\pi}{2}$, где$\pm$соответствует двум различным возможным выборам знаков. Контур по реальному$p$-ось воспроизводится контуром наискорейшего спуска, соответствующим критической точке$p_{\mp 1}$:

$$\begin{align} \psi_{<}(x)~\sim~& I_{\mp 1}\cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{|P|}} \exp\left(-\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} \right). \end{align} \tag{14}$$

Классически разрешенный регион$x<x_0$: Тогда$P=|P|>0$с$\theta=0$. Контур по реальному$p$-ось воспроизводится суммой обоих контуров наискорейшего спуска:

$$\begin{align} \psi_{>}(x)~\sim~& \sum_{\sigma\in\{\pm 1\}}I_{\sigma}\cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{|P|}}\sum_{\sigma\in\{\pm 1\}} \exp\left(i\sigma\left(\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} -\frac{ \pi}{4}\right)\right)\cr ~=~&\frac{2}{\sqrt{|P|}} \cos\left(\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} -\frac{\pi}{4} \right)\cr ~=~& \frac{2}{\sqrt{|P|}} \sin\left(\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} +\frac{\pi}{4} \right).\end{align} \tag{15}$$

Сравнивая уравнения. (14) и (15), мы получили формулу связи. Подробно, сравнивая вклады в критические точки$p_{\mp 1}$, мы выводим уравнения L&L. (47.4c) и (47.4b) соответственно. Итак, два метода совпадают.

VII) Экспоненциально растущие решения физически возможны, если классически запрещенная область имеет конечную длину, например, при квантовом туннелировании. Однако в примере L&L классически запрещенная область некомпактна, поэтому экспоненциально растущие решения необходимо отбросить.

Остается объяснить, почему только одна из двух колебательных ветвей в классически разрешенную сторону аналитически продолжается в классически запрещенную сторону.

С одной стороны, L&L утверждает, что экспоненциально растущему филиалу WKB нельзя доверять во время$\frac{3\pi}{2}$фазовый сдвиг в факторе Больцмана, потому что он на мгновение становится экспоненциально подавленным. Это подчеркивает тот факт, что формулы соединения являются однонаправленными.

С другой стороны, с точки зрения метода наискорейшего спуска в разделах IV-VI, линия Стокса пересекается в комплексе$x$-самолет, чтобы контуры самого крутого спуска набирали монодромию в комплексе$p$-самолет, см. Рисунок 1.

Для получения дополнительной информации см. также, например, мой связанный с Phys.SE ответ здесь .

VIII) Наконец, мы должны упомянуть, что$\frac{\pi}{2}$фазовый сдвиг между входящей и исходящей волной в точке поворота в ур. (15) соответствует индексу Маслова $|\mu|=1$, ср. например, этот пост Phys.SE.

Использованная литература:

• [LL] Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, QM, Vol. 3, 2-е и 3-е изд., 1981 г .;$\S47$&$\S b$.

• [W] Э. Виттен, Аналитическое продолжение теории Черна-Саймонса, arXiv:1001.2933 ; п. 23-29, 48-49. Соответствующую лекцию KITP 2015 года Виттена « Новый взгляд на интеграл по пути квантовой механики» можно найти на YouTube .