Что такое «свободная» неабелева теория Янга-Милла?

Я надеюсь, что этот вопрос не будет закрыт как нечто совершенно тривиальное!

Я не задумывался над этим вопросом до тех пор, пока в недавнем прошлом не наткнулся на документы, в которых, казалось, записаны довольно простые на вид решения «свободной» теории Янга-Милла о А г С г + 1 . Решения очень похожи на электромагнитные поля!

  • Не очень ли трудно найти классические точные решения теории Янга-Милла? Разве они не имеют ничего общего с тем, что называется уравнениями Хитчина? (.. Я был бы признателен, если бы кто-нибудь мог указать мне на какую-нибудь разъяснительную литературу об этом..)

Я бы подумал, что неабелева теория Янга-Милла не имеет настоящего свободного предела, поскольку она всегда имеет трех- и четырехточечную калибровочную вершину при любом ненулевом значении связи, каким бы сколь угодно малым она ни была. Это казалось совместимым с тем, что называется «квантованием фонового калибровочного поля», когда рассматривают флуктуации относительно классического независимого от пространства-времени калибровочного поля, которое нельзя калибровать до нуля по желанию, поскольку они входят в калибровочно-инвариантные величины, которые имеют нетривиальные факторы структурных констант в них, которые фиксированы выбором калибровочной группы и, следовательно, ничто не может удалить их никаким пределом слабой связи.

Но есть и другой способ зафиксировать шкалу, в которой вещи могут иметь смысл, — если кто-то работает с соглашениями, в которых лагранжиан Янга-Милла выглядит как − 1 грамм 2 Ф 2 тогда структурные константы пропорциональны грамм и, следовательно, в пределе слабой связи все калибровочные коммутаторы будут равны нулю!

  • Итак, при втором способе мышления «свободный» предел неабелевой С U ( Н с ) Теория Янга-Милла выглядит как абелева калибровочная теория с калибровочной группой U ( 1 ) Н с 2 − 1 . Не это ли имеют в виду, когда говорят о «свободной» неабелевой теории Янга-Миллса? (..который теперь собственно абелев!..)

Буду признателен, если кто-то поможет примирить эти, казалось бы, противоречивые точки зрения.

Ответы (1)

Свободная неабелева калибровочная теория является пределом нулевой связи. Так что это правда, в некотором смысле, что бесплатно С U ( Н с ) Калибровочная теория — это теория Н с 2 − 1 свободные «фотоны». Однако есть важная тонкость: это калибровочная теория, поэтому физическими мы считаем только калибровочно-инвариантные состояния. Таким образом, уже в свободной теории существует ограничение «закона Гаусса», которое делает вычисления (например, статистической суммы) нетривиальными, а физику неабелевых свободных теорий отличной от физики абелевых (по крайней мере, в конечном объеме). См., например, эту прекрасную работу Ахарони, Марсано, Минваллы, Пападодимаса и ван Рамсдонка , которая показывает, что многие термодинамические аспекты конфайнмента проявляются уже в свободных теориях конечного объема.

В этой статье есть концепция написания закона Гаусса как утверждения теории представлений, которую я не мог понять. Почему-то утверждается, что закон Гаусса для С U ( Н с ) Калибровочная теория заключается в том, что физические состояния инвариантны относительно глобальных С U ( Н с ) трансформации - это то, что я не мог понять и что это значит на языке представлений. Хотя я мог самостоятельно понять расчет теории Полиа, но их интегральное представление и их очень важные уравнения с 3.12 по 3.20 были мне совершенно непонятны!
Я отредактировал свой вопрос об опечатке, которую я имел о том, что такое эффективная калибровочная теория в грамм знак равно 0 точка. Каждый независимый генератор С U ( Н с ) теперь становится «свободным», и, следовательно, калибровочная теория при грамм знак равно 0 является U ( 1 ) Н С 2 − 1 Но почему-то кажется немного странным, что теория возмущений имеет смысл, даже когда точка, относительно которой производится возмущение, и фактическая теория видят две разные калибровочные группы. Также не могли бы вы объяснить, каким образом "закон Гаусса" (в приведенном выше смысле!) сохраняется в грамм знак равно 0 предел в отличие от коммутаторов?
Ограничение «закона Гаусса» состоит только в том, что состояния должны быть цветными синглетами; Другими словами, физические состояния всегда калибровочно инвариантны. Я не уверен, что понимаю остальную часть того, о чем вы здесь спрашиваете.
«Закон Гаусса», который учат в школе, — это утверждение о том, что электрический поток через любые поверхности пропорционален общему заряду, содержащемуся в них. Теперь, как это обобщается на утверждение, что все состояния в теории Янга-Милла являются цветными синглетами? Я не уверен, как перефразировать эту другую часть вопроса - я сравнивал теорию возмущений в неабелевой теории поля с любой другой теорией -
- в отличие от любой другой теории здесь кажется, что кто-то делает пертурбативное расширение вокруг точки ( грамм знак равно 0 ), где на самом деле группа симметрии теории явно отличается от группы симметрии полной теории! Оглядываясь назад, это выглядит немного причудливо — это почти то же самое, что сказать, что С U ( Н с ) неабелевы процессы представляют собой лишь возмущающие воздействия на U ( 1 ) Н с 2 − 1 абелева теория - хотя, как вы указываете грамм знак равно 0 теория все еще имеет много неабелевых эффектов, таких как заключение! (..хотя у него есть абелева калибровочная группа!..)
Во-первых, калибровочная группа g = 0 не является степенью U(1). Вместо этого это алгебра Ли исходной калибровочной группы с групповой операцией +. Во-вторых, кажется странным, что калибровочная группа при g = 0 другая, но на самом деле это имеет смысл. Представьте, что вы смотрите на фиксированную точку на сфере. Когда радиус сферы R стремится к бесконечности, она начинает выглядеть как плоскость. Таким образом, топология в R = бесконечности отличается от любого конечного R. То же самое происходит и здесь: группа g = 0 является касательным пространством в единице к полной группе.
В-третьих, для компактного пространственного многообразия закон Гаусса подразумевает, что полный заряд равен нулю. Выбирайте любую поверхность. Предположим, что он делит ваше многообразие на две части A и B. В компактном случае вы можете взять любую часть в качестве «внутренней». Следовательно, заряд в части A пропорционален потоку Phi, тогда как заряд в части B пропорционален -Phi: потоку, рассчитанному с обратной ориентацией. Следовательно, полный заряд равен нулю. Переходя к квантовой теории, это означает, что ваше состояние инвариантно относительно группы симметрии, то есть синглета.
@Squark Не могли бы вы объяснить, почему вы думаете, что грамм знак равно 0 калибровочная группа не является степенью U ( 1 ) ? Я не знаю, что вы подразумеваете под алгеброй Ли с аддитивной групповой операцией. Кажется, для меня нет никакого смысла, кроме тривиальности того, что любая алгебра Ли также является абелевой группой, как и векторное пространство. Но как только мы деформировали (здесь приравняли к нулю) скобки Ли, это уже другая алгебра Ли с той же структурой абелевой группы внизу, и, следовательно, имеет смысл спросить, какой группе Ли соответствует эта новая алгебра Ли. (вообще-то однозначного ответа не будет)
@Squark Я вижу ваш аргумент о том, почему закон Гаусса означает, что на компактном пространственном многообразии нет чистого заряда, но я не вижу аргумента в вашей последней строке, откуда вы делаете вывод, что физические наблюдаемые в квантовой калибровочной теории находятся в Одномерные неприводимые представления калибровочной группы. Было бы полезно, если бы вы объяснили в деталях.
На самом деле я имею в виду эту тривиальность, а именно алгебру Ли с векторным сложением, рассматриваемую как произведение группы. Это группа, которая возникает из-за того, что предел g -> 0 по существу «приближается» к окрестностям единичного элемента в исходной группе. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что g можно рассматривать как мультипликативную константу в определении формы Киллинга, то есть метрику на G. Поскольку g -> 0, метрика -> бесконечность и, таким образом, это то же самое, что и предел R -> бесконечность. выше. На самом деле SU(2) — это 3-сфера, так что аналогия в этом случае точная.
Заметим, что исходная группа G сохраняется как симметрия в этом пределе, действуя на алгебру Ли в присоединенном представлении. Именно инвариантность относительно этой симметрии исходит из ограничения закона Гаусса. Теперь степень U (1) получится, если вы возьмете фактор абелевой группы по решетке, но это нарушит G-симметрию
Квантомеханические операторы Qi, соответствующие зарядам, порождают G-симметрию. Из-за закона Гаусса нам нужно наложить ограничения Qi Psi = 0. Это означает, что Psi должен быть G-инвариантным. Другой способ понять это - помнить, что G является калибровочной симметрией, хотя в этом пределе она становится глобальной симметрией.
Что такое «свободная» неабелева теория Янга-Милла?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 2v