Калибровочно-инвариантные скалярные потенциалы

Для генерала$G$вам нужно знать его инварианты в конкретном представлении.

Для унитарной группы$SU(n)$действующий на$n$-вектор$\Phi$, единственными локальными инвариантами являются функции$\Phi^*\Phi$.

В общем, если вы просто ищете локальные квадратичные взаимодействия, вам нужно разбить тензорное произведение представления поля на себя на неприводимые представления и выбрать одно из одномерных представлений или их комбинацию.

Вы хотите записать самые общие$G$-инвариантный полином, построенный из$\Phi$и/или$\Phi^*$. Все инварианты можно определить, рассматривая произведение нескольких полей как тензорное произведение представлений, скажем$\Phi_{ij}\Phi^{*kl}\Phi_{mn}\Phi^{*op}$, и проецирование синглетной компоненты. Это делается путем сокращения всех индексов с$G$- инвариантные тензоры . Например, единственные (алгебраически независимые) инвариантные тензоры$SU(N)$являются$\delta^i_j$,$\epsilon_{ijk}$и$\epsilon^{ijk}$. Это сразу говорит вам, что инвариант, построенный из одного тензорного поля ранга 2 (симметричного или антисимметричного)$\Phi$обязательно является функцией$t_n\equiv{\rm tr}(\Phi^\dagger\Phi)^n$,$\det\Phi$и$\det\Phi^\dagger$. Это уже решает проблему, как записать самое общее$G$-инвариантная функция. Однако количество независимых параметров в этой функции можно уменьшить, заметив, что все указанные выше инварианты не являются независимыми. С$\Phi^\dagger\Phi$является эрмитовой положительно-полуопределенной матрицей, все$t_n$зависеть только от его$N$действительные неотрицательные собственные значения и, таким образом, только$t_n$с$n=1,...,N$являются независимыми. Их можно получить из производящей функции

$$f(z)\equiv{\rm tr}\log(1+z\Phi^\dagger\Phi)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}nt_nz^n.$$ С точки зрения собственных значений $\lambda_k$, это читается $f(z)=\log\prod_{k=1}^N(1+z\lambda_k)$что, в свою очередь, может быть выражено через $t_n$с $n=1,...,N$используя вариант формул Виете. Та же стратегия может быть использована для поля $\Phi$в произвольном тензорном представлении, а также для других групп с учетом соответствующих инвариантных тензоров. Дополнительные отношения между различными инвариантами могут возникнуть, если тензор обладает некоторой симметрией или удовлетворяет некоторым ограничениям. Например, для бесследового тензора в присоединенном представлении $SU(N)$надо ${\rm tr}\Phi^4=\frac12({\rm tr}\Phi^2)^2$для $N=2,3$. Конечно, если вас интересуют только перенормируемые взаимодействия, вам понадобится лишь малая часть этого механизма.