SU(2)SU(2)SU(2) калибровочная симметрия

Возьмем лагранжиан с одним фермионом:

л "=" − 1 4 Ф а мю ν Ф мю ν а + ψ ¯ ( я γ мю Д мю − м ) ψ
где калибровочно-ковариантная производная Д мю "=" ∂ мю + я г 2 т а Вт мю а . Лагранжиан инвариантен относительно локального С U ( 2 ) трансформация:
ψ ( Икс ) → опыт ⁡ [ − я θ а ( Икс ) т а ] ψ ( Икс )
Вт мю а ( Икс ) → Вт мю а ( Икс ) + 1 г ∂ мю θ а ( Икс ) + ϵ а б с θ б ( Икс ) Вт мю с ( Икс )

Часто мы говорим, что Вт мю а преобразуется по присоединенному представлению С U ( 2 ) но как мы можем сказать это, основываясь на предыдущем уравнении?

Ответы (1)

Обратите внимание, что конечное преобразование:

Вт мю а → Вт мю а + 1 г ∂ мю θ а + ϵ а б с θ б Вт мю с
является:
(1) Вт мю а т а → г Вт мю а т а г − 1 + я г ∂ мю г
где:
г "=" опыт ⁡ ( − я θ а т а ) и [ т а , т б ] "=" я ϵ а б с т с
Таким образом, первый член в правой части уравнения ( 1 ) преобразуется по присоединенному представлению группы Ли . Второй член не преобразуется при присоединенном представлении, но должно быть легко проверить, что преобразованное калибровочное поле по-прежнему принимает значения в алгебре Ли (подсказка: просмотр бесконечно малых преобразований - самый простой способ проверить это).

Если вам нужна дополнительная информация о присоединенном представлении группы Ли, возможно, стоит взглянуть на этот вопрос .

Спасибо за ваш ответ. Я думаю, что моя проблема в том, что я неправильно понимаю, что на самом деле означает «преобразование под». Скажи мне, если я ошибаюсь: Возьмем С U ( 3 ) , для 3 с индексами Дынкина (1,0) состояние преобразуется следующим образом: ψ ( Икс ) → г ψ ( Икс ) . Для 3 ¯ (0,1), состояние преобразуется как: ф ( Икс ) → ф ( Икс ) г − 1 . И для присоединенного представления (1,1): О → г О г − 1 . Но потом, если я вернусь к С U ( 2 ) , поскольку 2 и 2 ¯ эквивалентны, они должны преобразовываться одинаково?
@KoObO Честно говоря, я не очень знаком с индексами Дынкина. Однако поле, принимающее значения в алгебре Ли, т.е. ф е г , преобразуется при присоединенном представлении как ф → г ф г − 1 и снова будет принимать значения в присоединенном представлении, т.е. г ф г − 1 е г . Самый простой способ понять это — посмотреть мой ответ, приведенный здесь . Весь смысл свойства преобразования калибровочного поля в том, что
они живут в алгебре Ли до и после преобразования. Вероятно, поэтому говорят, что калибровочные поля преобразуются при присоединенном представлении.
@KoObO Наконец, стоит упомянуть, что вы должны быть осторожны, чтобы не перепутать присоединенное представление группы Ли и присоединенное представление алгебры Ли .
Хорошо, я думаю, я понял. Спасибо за ваш ответ (ы)!
@KoObO без проблем! Кроме того, если вы хотите узнать ответ на свой первый комментарий (относящийся к индексам Дынкина), то я думаю, что задать здесь очень правильный вопрос. Лично мне было бы интересно увидеть ответ!
SU(2)SU(2)SU(2) калибровочная симметрия
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v