Что учитывают нелоренцевы индексы λλ\lambda вектора поляризации ϵλϵλ\boldsymbol{\epsilon}_\lambda?

$\lambda$подсчитывает количество независимых поляризаций фотона. Обратите внимание, что тензор поляризации является 4-векторным$\epsilon^\mu$. В кулоновской калибровке$A^0 = 0$так что$\epsilon^0 = 0$. Таким образом, общий тензор поляризации в кулоновской калибровке принимает вид$\epsilon^\mu = (0,\epsilon^i)$и поэтому задается тремя переменными. Кроме того, эти три переменные не все независимы, но ограничены условием

$$\epsilon^i p_i = 0 \, .$$ Это 1 уравнение для 3 переменных. Таким образом, мы можем решить для одной из переменных через другие 2. Таким образом, всего существует 2 независимых решения уравнения, приведенного выше, которые мы обозначаем как $\epsilon_\lambda^i$с $\lambda = 1 ,2$.

Например, если вы хотите, вы можете решить для$\epsilon^3$с точки зрения$\epsilon^1$и$\epsilon^2$и общее решение ограничения принимает вид

$$\epsilon^\mu = (0,\epsilon^1,\epsilon^2, - \frac{p^1 \epsilon^1 + p^2 \epsilon^2 }{ p^3 } )$$ Затем можно найти две независимые поляризации, выбрав $(\epsilon^1,\epsilon^2)=(1,0)$и $(0,1)$. Например $$\epsilon^\mu_{\lambda=1} = (0, 1 , 0 , - \frac{p^1 }{ p^3 } ) \, , \qquad \epsilon^\mu_{\lambda=2} = (0, 0 , 1 , - \frac{p^2 }{ p^3 } )$$ Приведенный выше выбор независимых поляризаций является линейными поляризациями.

Другой набор из двух независимых поляризаций можно найти, выбрав$(\epsilon^1,\epsilon^2)=(1,i)$и$(1,-i)$. Они называются круговыми поляризациями.

Что$\lambda$подсчитывает количество независимых состояний поляризации, доступных фотону. Реальные фотоны существуют только в соленоидальной части векторного потенциала,$\mathbf{A}$. Поскольку в любой точке соленоидального поля есть две независимые степени свободы, вы получаете два возможных значения для$\lambda$. Вы можете получить три возможных значения для$\lambda$если бы фотон имел массу, что делало бы продольную (безвращательную) часть$\mathbf{A}$физический, но это не было бы калибровочным инвариантом.

Легче увидеть, что происходит в режиме пространства ($\mathbf{k}$-пространство), где интеграл и сумма в вопросе уже есть. Там,$\lambda$просто помечает два вектора, ортогональные радиальному единичному вектору. Один из вариантов для них будет$\boldsymbol{\epsilon}_1 = \hat{\theta}$и$\boldsymbol{\epsilon}_1 = \hat{\phi}$, единичные векторы традиционно выбираются ортогональными радиальному единичному вектору в сферической системе координат. В физическом пространстве это имеет смысл только тогда, когда вы работаете с двумя физическими точками, источником и наблюдателем, а не с одной. Когда вы это делаете, это означает, что векторный потенциал будет перпендикулярен линии взгляда, соединяющей две точки.

Как насчет$\phi=A^0$ты спрашиваешь? Ну, это поле на самом деле не является динамическим полем, потому что его производная по времени не появляется в лагранжиане. Таким образом, он больше похож на поле ограничения множителя Лагранжа, чем на что-либо еще. Так,$A^\mu$имеет только 2 степени свободы, которые ведут себя как частицы, одна из которых действует как множитель Лагранжа ($\phi$), и другой, который не может принимать какое-либо конкретное значение из-за калибровочной инвариантности (с точностью до линейного интеграла,$\nabla \cdot \mathbf{A}$).

Для получения подробной информации о том, как правильно квантовать электромагнитное поле (обрабатывая как ограничения фиксации калибровки, так и уравнение ограничения, которое вы получаете от изменения лагранжиана относительно$\phi$), я рекомендую "Квантовую теорию полей" Вайнберга Vol. 1 и 2, так как он тщательно рассматривает как канонический, так и лагранжев формализм (даже если обозначения несколько громоздки).