Как подсчитать количество мод/поляризаций гауссовой теории поля?

Гауссова (свободная) теория поля описывается квадратичным действием поля, например$S=\int\psi^\dagger K\psi$(или$S=\frac{1}{2}\int\phi^\intercal K\phi$для реальных полей). Обычно достаточно просто диагонализировать ядро ​​действия$K$, то каждый собственный вектор соответствует моде/поляризации поля. Например,

$$S=\int \psi^\dagger(-i\partial_\tau+H)\psi\stackrel{\text{diag}}=\sum_n\psi_n^\dagger(-\omega+E_n)\psi_n,$$ где каждый $n$обозначает моду поля $\psi$, а дисперсионное соотношение (или энергетический спектр) задается установкой собственного значения на ноль, например $(-\omega+E_n)=0$и поэтому $\omega=E_n$.

Однако когда я попытался применить этот подход к калибровочной теории, у меня возникли некоторые проблемы. Например, рассмотрим теорию Максвелла (с евклидовой метрикой в ​​4-х измерениях),

$$S=\int\frac{1}{4}F^2=\int\frac{1}{2}A^\mu\Pi_{\mu\nu}A^\nu,$$ где $\Pi_{\mu\nu}=k^2\delta_{\mu\nu}-k_\mu k_\nu$является ядром действия, и $k_\mu=i\partial_\mu$— вектор энергии-импульса. $\Pi$это $4\times 4$матрица, которую можно диагонализовать. Будет одна нулевая мода, соответствующая калибровочному преобразованию калибровочного поля (как видно из его собственного вектора $A_\mu\sim\partial_\mu \phi$), что не следует считать физической модой. Все идет нормально. Но есть еще три (вырожденных) ненулевых моды с тем же собственным значением $k^2$. На данный момент я склонен заключить, что должно быть три физических моды, все вырожденные по дисперсионному соотношению $k^2=0$. Но на самом деле у фотона есть только две поперечные моды. У меня вопрос, что не так с режимом подсчета? Разве продольная мода не должна быть уже исключена как нулевая мода (калибровочная мода), но почему мы все еще остаемся с тремя собственными модами в $\Pi$?

---

Если мы выполним псевдоинверсию$\Pi$, фотонный пропагатор должен быть

$$-(\Pi^{-1})_{\mu\nu}=\frac{1}{k^2}\left(\delta_{\mu\nu}-\frac{k_\mu k_\nu}{k^2}\right),$$ который также имеет три полюса вдоль дисперсии $k^2=0$. Если каждый полюс соответствует физической моде, то фотонных мод будет три, что все еще противоречит тому факту, что фотон имеет только две поперечные моды. Как правильно сделать подсчет мод?