Всегда ли третий вектор спина фотона подавлен?

Направления поляризации фотона поперечны только тогда, когда он свободен в пространстве. Поляризация взаимодействующего фотона или фотона с несвободными граничными условиями, вообще говоря, не является трансверсальной. Одним из примеров является то, что электромагнитные волны обладают продольной поляризацией в волноводах.

Другой относительно простой пример, когда (некоторая комбинация) поперечной и скалярной поляризаций становится физической, когда фотон является посредником кулоновского взаимодействия. Это можно увидеть следующим образом:

Ковариантный (внеоболочечный) фотонный пропагатор без фиксации калибровки имеет вид:

$$D^{\mu\nu}(k) = \frac{1}{k^2}\epsilon^{\mu}_{\lambda}(\mathbf{k}) \epsilon^{\nu\lambda}(\mathbf{k}) = \frac{g^{\mu\nu}}{k^2}$$

Если принято правило суммирования Минковского:

$$a.b = a^{\lambda} b_{\lambda} = - a^0b^0+a^1b^1+a^2b^2 + a^3b^3$$

Четыре вектора поляризации могут быть выбраны ортонормированными:

$$\epsilon_{\mu}^{\lambda}(\mathbf{k}) \epsilon_{\nu\lambda}(\mathbf{k}) = g^{\mu\nu}$$

Следовательно, три из них должны быть пространственноподобными, а один из них времениподобным.

Без ограничения общности их можно выбрать в виде:

Векторы поперечной поляризации

$$\epsilon_r^{\mu}= [0, \mathbf{\epsilon}_r], \ \ r=1,2$$

Которые определены как ортогональные импульсу

$$\mathbf{\epsilon}_r . \mathbf{k} = 0$$

Скалярный вектор поляризации

$$\epsilon_0^{\mu} \equiv n^{\mu} = [1, 0, 0, 0]$$

Вектор продольной поляризации:

$$\epsilon_3^{\mu} = [0,\frac{\mathbf{k}}{k}]$$

Вектор продольной поляризации можно ковариантно записать как:

$$\epsilon_3^{\mu} = \frac{k^{\mu} - (k.n) n^{\mu}}{[ (k.n) ^2- k^2]^{\frac{1}{2}}}$$

Подставив в пропагатор, получим

$$D^{\mu\nu}(k) = \frac{1}{k^2}\big [\sum_{r=1,2} \epsilon^{\mu}_{r}(\mathbf{k}) \epsilon^{\nu}_{r}(\mathbf{k}) + \frac{[k^{\mu} - (k.n) n^{\mu}][k^{\nu} - (k.n) n^{\nu}]}{[ (k.n) ^2-k^2]} + n^{\mu}n^{\nu} \big ]$$

Пропагатор может быть организован как:

$$D^{\mu\nu}(k) = D_{\mathrm{trans}}^{\mu\nu} + D_{\mathrm{Coulomb}}^{\mu\nu} + D_{\mathrm{resid}}^{\mu\nu}$$

С

$$D_{\mathrm{trans}}^{\mu\nu}(k) = \frac{1}{k^2}\sum_{r=1,2} \epsilon^{\mu}_{r}(\mathbf{k}) \epsilon^{\nu}_{r}(\mathbf{k})$$

$$D_{\mathrm{Coulomb}}^{\mu\nu}(k) = \frac{n^{\mu}n^{\nu}}{[ (k.n)^2-k^2]}$$

$$D_{\mathrm{resid}}^{\mu\nu}(k) = \frac{k^{\mu} k^{\nu} - (k^{\mu} n^{\nu} + k^{\nu} n^{\mu})(k.n)}{k^2[ (k.n) ^2-k^2]}$$

Кулоновская и остаточная части представляют собой комбинации скалярной и продольной частей пропагатора.

Остаточная часть всегда дает исчезающую величину при переключении между двумя сохраняющимися токами ($k^{\mu}J_{\mu} = 0$):

$$D_{\mathrm{resid}}^{\mu\nu} J^{(1)}_{\mu}J^{(2)}_{\nu} = 0$$

Таким образом, это не способствует физическим наблюдаемым. Кулоновская часть — это просто преобразование Фурье мгновенного кулоновского потенциала:

$$D_{\mathrm{Coulomb}}^{\mu\nu}(x-y) = \delta^{\mu0} \delta^{\nu0}\frac{\delta(x_0-y_0)}{4 \pi| \mathbf{x}-\mathbf{y}|}$$

Таким образом, свободные фотоны никогда не могут привести к кулоновскому взаимодействию.