Что вызывает ошибки учащихся в задаче на дифференцирование факториала?

Рассмотрим следующую математическую задачу, предполагая, что знание математических вычислений только на уровне средней школы:

Если ф ( Икс ) знак равно Икс ! , найти г ф / г Икс

Почти все мои респонденты, казалось, включили свой «конвейер умственной дифференциации» и попытались расширить Икс ! как продукт и застрял. Правильный ответ таков Икс ! не определено для любого нецелого числа, поэтому ф является прерывистым, и ф ′ не существует!

Есть ли в психологии название для феномена, который заставляет мыслить в неправильном направлении в приведенной выше проблеме?

Это то же самое, что приводило к неправильным ответам в задаче о бите и мяче? Это проверка вашего стиля мышления? Ибо, возможно, интуитивный стиль мышления приведет к расширению Икс ! как продукт и попытаться дифференцировать по срокам. Существует ли «когнитивное средство» от неправильного мышления?

Ответы (2)

Я предполагаю, что этот вопрос сложен для студентов по нескольким причинам.

  1. Формулировка вопроса: Вопрос может подсказать учащемуся, что можно дифференцировать Икс ! . Или они могут предположить из формулировки, что имеется в виду какое-то значение, которое можно различить. Например, в качестве альтернативы вы можете задать набор вопросов, по одному для каждой функции, о том, является ли данная функция дифференцируемой (например, Икс 2 , 2 Икс + 3 Икс 3 , л о грамм ( Икс ) , Икс ! ). Очевидно, что это было бы проще, потому что это дает возможность учащемуся предположить, что функция может быть недифференцируемой. Я не говорю, какой метод опроса лучше с педагогической точки зрения; Я просто отмечаю, что формулировка вопроса влияет на сложность проблемы, и что в этом случае вопрос можно назвать «вопросом с подвохом».

  2. Аналогия для решения новых задач: если учащиеся думают, что существует реальная производная в качестве ответа, но не существует очевидного решения, естественно применять стратегии, которые кажутся релевантными для проблемы. Например, они могут знать, как считать Икс ! для любого заданного положительного дискретного значения Икс . Поэтому они могут предположить, что вычисление производной включает в себя интерполяцию (например, что-то вроде гамма-функции), или они могут полагаться на то, что им известно о правиле произведения или что-то в этом роде. Обычно люди пытаются решить проблемы, которых они не понимают, опираясь на стратегии, которые кажутся актуальными.

  3. Вопрос зависит от способности применить ключевой факт , что дискретные функции не дифференцируемы. Таким образом, учащиеся должны знать этот факт, и им нужно знать, что факториал является дискретной функцией, и им нужно связать эти две идеи. Таким образом, с точки зрения знаний, этот вопрос опирается на знания, которыми учащиеся могут не обладать.

Таким образом, я думаю, что этот вопрос иллюстрирует виды проблем, с которыми учащиеся сталкиваются при изучении и демонстрации математических навыков. Я думаю, что многое можно узнать о когнитивных представлениях учащихся о проблеме по типам ошибок, которые они совершают. Однако я не думаю, что неспособность правильно решить эту задачу говорит о чем-то фундаментальном о вашем стиле мышления.

Для дальнейшего обсуждения когнитивной науки в отношении математического образования, возможно, ознакомьтесь с работой Роберта Зиглера.

использованная литература

  • Зиглер, Р. С. (2003). Последствия исследований когнитивных наук для математического образования. В Килпатрик, Дж., Мартин, В. Б., и Шифтер, Д. Е. (ред.), Исследовательский компаньон по принципам и стандартам для школы. математика (стр. 219-233). Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики. PDF
@ Джероми, я предполагал, что студенты очень хорошо знают ключевой факт в пункте 3. Тот факт, что функция не является непрерывной (или дифференцируемой), если она имеет скачки, обычно изучается в высшей школе.
@PKG Думаю, знание этого факта - только первый шаг. Применение его к факториалу, по-видимому, является более сложной задачей. Было бы интересно сесть один на один с несколькими студентами и заставить их вербализовать свои мыслительные процессы.
Действительно, это очень верно.

Если задать вопрос только тем учащимся, которые в совершенстве владеют математикой средней школы, без каких-либо пробелов в знаниях, то все они должны дать правильный ответ. «Проблема» в том, что вы можете окончить среднюю школу, не разобравшись во всех деталях дифференциации. Большинство учащихся заканчивают среднюю школу не с лучшей оценкой по математике, поэтому очевидно, что у них должны быть какие-то пробелы в знаниях. И даже многие, получившие максимально возможную оценку, поняли только формат вопросов, а не все, что за ними стоит. А есть и те, для кого эта деталь не входила в учебную программу. Потому что даже с идентичным учебным планом у учителя будет достаточно свободы действий, чтобы сосредоточиться на разных аспектах и ​​только поверхностно затронуть другие или вообще исключить их.

Вкратце: предполагать, что все люди с высшим образованием имеют одинаковую глубину математических знаний, несколько наивно.

Я закончила школу и никогда не понимала даже основ дифференциации, несмотря на то, что она занимала один год моей учебной программы :-)

Ваши замечания уместны, но среди моих респондентов были и учителя математики средней школы.
Что вызывает ошибки учащихся в задаче на дифференцирование факториала?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v