Основы физики с точки зрения непрофессионала

Итак, основная идея такова: движущийся объект имеет тенденцию оставаться в движении с той скоростью, с которой он движется.

Когда мы применяем это к динамике вращения, мы получаем интересный эффект: скорость объекта линейно зависит от радиуса , в котором он находится от центра, вокруг которого он вращается. Итак, если что-то вращается с периодом T, оно должно пройти расстояние$2 \pi R$во время$T$, поэтому его фактическая скорость в любой точке$v 2 \pi R / T$. Очень часто мы называем этот параметр$2 \pi / T$по названию "угловая скорость" с символом$\omega$(греческая строчная буква «омега»), за короткое время вы заметаете угол$\omega t$измеряется в радианах.

Итак, чтобы сохранить$v = R \omega$то же, когда что-то приближается к оси вращения (нижний R) увеличивается$\omega$в обратной пропорции, что выглядит как "быстрее крутится". Вот почему, например, фигуристы втягивают руки, чтобы вращаться быстрее, или отпускают их, чтобы вращаться медленнее.

Почему это приводит к скручиванию

Теперь, если гимнаст поднимет обе руки вверх, он выполнит просто сальто без поворота: ось вращения горизонтальна и проходит параллельно плечам. Опускание руки означает, что две стороны этой гимнастки хотят вращаться с разными угловыми скоростями вокруг этой оси. И именно это поведение проявляется в повороте вокруг центральной оси гимнастки.

Является ли математика грозной? На самом деле, это не слишком сложно. Здесь нам нужно отслеживать несколько разных скоростей, но для простоты представьте, что мы отслеживаем скорости: центра масс в вашем кишечнике, горла прямо над ним и плеч рядом с ним. На самом деле трех точек достаточно, чтобы указать положение и ориентацию любого жесткого объекта; горло мы просто вводим для удобства как точку на полпути между плечами и, следовательно, имеющую среднее значение их скоростей.

Сначала мы вычитаем движение центра масс как скучное: центр масс просто следует красивой параболе, хорошо, нам все равно. Итак, теперь мы можем рассматривать этого человека как переворачивающегося и вращающегося в свободном пространстве вдали от гравитации, поскольку это две разные задачи. Тем не менее, мы по-прежнему будем думать о виртуальной «земле» под ним и о «горизонтальном» или «вертикальном», «вверху» или «внизу» по отношению к нему.

Итак, сальто назад, ранний поворот. Наш прыгун начинает вертикально, затем медленно переворачивается на спину, так что он становится горизонтальным и «лицом вверх», когда он внезапно подтягивает левую руку к центру тела. Прямо перед этим плечи и горло двигаются вниз с некоторой скоростью.$-s$. Левая сторона набирает дополнительную нисходящую скорость$-\Delta s$. Если мы напишем (скорость левого плеча, скорость горла, скорость правого плеча), мы напишем, что произошло изменение.$(-s, -s, -s) \mapsto (-s - \Delta s, -s - \frac{\Delta s}{2}, -s)$, так как плечо в движении хочет оставаться в движении, а другое плечо набрало эту дополнительную скорость.

Таким образом, некоторое вращение вокруг исходной оси «исчезло», потому что именно об этом говорит нам горловая скорость. Вычтите новую скорость горла (flip-rotation), и вы увидите, что оставшиеся скорости равны:$(-\frac{\Delta s}{2}, 0, +\frac{\Delta s}{2})$. Таким образом, получается поворот левого плеча назад и правого плеча вперед, что вы, как гимнаст, испытаете как вращение против часовой стрелки.

Если вы вращаетесь с сальто, поворот всегда выглядит одинаково.

На самом деле не имеет значения, в какую сторону вы смотрите, насколько я могу судить: "приведение" (опускание) левой конечности дает вращение против часовой стрелки (как вы видите) для кувырка назад как в начале и конец вашей траектории, пытаетесь ли вы свернуть рано или поздно.

Однако, возможно, вы оцениваете повороты с земли, особенно по кадру, который смотрит на прыжок «на пути», в котором происходит прыжок. Затем, когда вы видите, что кто-то, кто находится лицом вверх, а не лицом вниз, выполняет то, что, по их мнению, является вращением против часовой стрелки, он будет выглядеть против часовой стрелки, когда мы видим их лицом к лицу (мы смотрим вниз на землю, когда мы обозначаем наши вращения как против часовой стрелки). или по часовой стрелке, а не смотреть на небо, так что это вид с высоты птичьего полета) или по часовой стрелке, когда мы видим их на ногах. Так, если эта гимнастка приближается к вам, опускание левой руки в первой половине прыжка, когда голова обращена к вам, смотрит против часовой стрелки, а во второй половине прыжка – по часовой стрелке, и наоборот.

Фиктивные силы, угловые скорости

Применяемая здесь математика, позволяющая нам описывать мир с точки зрения кувыркающегося человека, — это математика вращающихся систем отсчета . Когда вы каким-то образом вращаете свои координаты , например, при начальном «сальто назад» гимнаста, вам нужно добавить две «фиктивные силы». Будем говорить, что центр масс гимнастки движется горизонтально в$\hat x$направлении и вертикально в$\hat y$направление. Мы также опишем направление слева от гимнаста, которое в начале$\hat x \times \hat y$с точки зрения перекрестного произведения, так как$\hat z$направление: в этом направлении сидит какая-то аудитория, наблюдающая, как гимнастка движется слева направо.

Они начинают вращаться кубарем с некоторой угловой частотой.$\omega$; в физике мы рассматриваем это как вектор, величина которого равна$\omega$но чье направление находится в оси вращения. Это определяет только два противоположных направления, поэтому обычным соглашением является «правило правой руки», вы сгибаете правую руку в том направлении, в котором они идут, и ваш большой палец указывает в «правильном» направлении; если вы смотрите на вектор вращения$\vec \omega$"наконечник", то вращение выглядит против часовой стрелки. Таким образом, это означает, что наш вектор вращения для сальто назад в нашей вращающейся системе отсчета с точки зрения наземных координат:

$$\vec \omega = - \omega \hat z$$ .

С двумя фиктивными силами мы можем просто проделать физику в системе отсчета, вращающейся в одном направлении. Предположим, у нас есть жесткая система из трех тел с массой M в положении$(x, y, z) = (0, -d, 0)$с двумя безмассовыми «плечами» на$(x, y, z) = (0, 0, \pm s)$поддерживающие две «руки» массой m на высоте h:$(0, h, \pm s)$. Мы выбираем$d$так что центр масс находится в 0; это означает$d = 2 m h / M$. Это означает, что существует баланс центробежных сил.$-m \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r)$, а также баланс крутящего момента: в нашей системе отсчета, вращающейся в одном направлении, пока ничего не меняется.

Две силы дельта-функции, несколько неуместных центробежных/вращательных движений центра масс.

В скором времени$t$мы тянем$h$полностью в плечо с постоянной скоростью$h/t$. Для этого требуются две короткие интенсивные силы, направленные от левой руки к плечу, которые в конечном итоге нейтрализуют друг друга, но подтягивают систему на некоторое расстояние.$d/2$и немного поверните систему вокруг ее центра масс в положении «колесо-право» ($\hat x$) направление. Мы проигнорируем это, потому что$M$большой по сравнению с$m$.

Теперь есть центробежный момент: раньше у нас был баланс центробежного момента, и мы до сих пор почти (для малых$d$) имеют баланс центробежных сил, который становится точным, когда мы принимаем небольшое вращение выше: но теперь крутящий момент из-за центробежной силы справа$m$неуравновешен. Это приводит к более устойчивому вращению «колесом влево» (-\hat x), по крайней мере на первых порах: чем дальше оно идет в этом направлении, тем меньше плечо собственного усилия и увеличивается плечо усилия$M$и двигается влево$m$чтобы уравновесить. Мы можем представить, что он в основном колеблется вокруг равновесия, которое мы назвали бы прецессией вокруг оси. Это тоже не совсем скручивание.

Эти эффекты «колеса» определенно несколько заметны; посмотрите, например , это обучающее видео , где вы можете увидеть, что, пока молодой человек находится в воздухе и вверх ногами, он не направлен прямо вдоль$\hat y$оси, а по некоторой комбинации$\hat y$и$\hat z$.

Поворот происходит от силы Кориолиса.

Оставшийся эффект - сила Кориолиса,$-2m \vec \omega \times {d\vec r \over dt}.$Это не имеет длительного крутящего момента, потому что через короткое время$t$мы знаем это$\frac{d\vec r}{dt} = 0$для левой массы. Но пока он движется , сила Кориолиса обеспечивает постоянную силу

$$-2 m (-\omega \hat z)\times(-\frac{h}{t}~\hat y) = +2m \omega ~\frac{h}{t}~\hat x$$ к любому плечу, если его рука опускается/приводится: движение «вперед», проистекающее как из признака $h$как положительное, так и выбор направления для $\vec\omega$вдоль $-\hat z$ось.

Если вы начнете сталкиваться$-\hat x$затем$-\hat z$вращение представляет собой «кувырок назад», а «левое» плечо находится в$s \hat z$. Это движение вашего левого плеча кажется направленным «к спине», как я упоминал выше. Сделаем это явно.

Момент силы равен

$$\vec \tau = \vec r \times \vec F = \int_0^1d\alpha~\left[\begin{array}{c}0\\ \alpha h \\ s\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c}2m \omega h/t\\ 0\\ 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\ 2 ~m~ \omega~ h ~s / t\\-m ~\omega ~h^2/t\end{array}\right]$$ который действует во времени $t$создает чистый угловой момент в системе отсчета, вращающейся вместе с: $$\vec L = t~\vec \tau = \left[\begin{array}{c}0\\ 2 ~m~ \omega~ h ~s \\-m ~\omega ~h^2\end{array}\right]$$ Z-компонент этого выражения действительно предполагает, что вы начинаете вращаться вперед быстрее (потому что вы подтягиваете конечность, заставляя себя вращаться немного быстрее!), а также что вы начинаете «крутиться» вокруг $\hat y$ось. Ваш момент инерции относительно этой оси равен $2 m s^2$поэтому вы должны описать скорость вращения $+~\hat y~\omega~h/s$, то есть против часовой стрелки, если смотреть сверху вниз, как вы бы описали свое вращение.

Опять же, с земли проблема заключается в том, что если вы установите волчок на стекле, вращающемся против часовой стрелки, если смотреть «нормально» сверху вниз, то, если вы посмотрите на него из-под стеклянного стола, вы увидите, что он движется по часовой стрелке. . Точно так же, видите ли вы вращение гимнаста по часовой стрелке или против часовой стрелки от земли, зависит от того, направлена ​​ли его голова на вас (против часовой стрелки) или его ноги направлены на вас (по часовой стрелке).