Как сохраняется угловой момент при освобождении массы?

Возьмем аналогичный пример: два человека на коньках едут с некоторой скоростью навстречу друг другу оба немного влево от их общего центра, а в момент наибольшего сближения они просто ловят друг друга правыми руками и начинают вращаться .

На самом деле они (как одна система) все время имеют один и тот же угловой момент.

Когда у вас есть снаряд, который целится в цель немного не по центру, угловой момент системы отличен от нуля. Я думаю, вы найдете его под именем параметра столкновения, обычно$b$. Если параметр столкновения равен нулю, угловой момент равен нулю.

Молоток и метатель — это просто ситуация, перевернутая во времени. Угловой момент сохраняется. Он может рассеять часть оставшейся энергии в землю.

Чтобы лучше ограничить проблему : представьте, что во вселенной больше ничего не существует, только молот и метатель. Забудьте о любых вращениях молота или метателя. Навечно система молот+метатель сохранит суммарный угловой момент. Как только вы удалите метатель из системы, это будет еще одно упражнение.

Небольшое замечание: угловой момент не частично там и не там, он есть у всей системы.

Та же картина на первых страницах учебников по ядерной физике , частица$a$переход к ядру$C$немного не по оси. Расстояние между центром$C$а ось полета вот такая$b$. И вы определили угловой момент системы$=b \cdot p$для любой ситуации, любой силы между$a$и$C$, в любое время до или после. Обратите внимание, что в пустой вселенной метатель не может правильно бросить молот из состояния покоя (из-за сохранения).

Теперь, после того как молот отпущен, метатель все еще имеет тот же угловой момент (тоже 62,8), но у молота, кажется, его больше нет.

Тело не имеет углового момента относительно точки C только тогда, когда оно вращается вокруг нее, вы знаете, что планеты имеют эллиптические орбиты и имеют L

Если тело H имеет линейный импульс p, то оно также имеет и угловой момент L (можно сказать, виртуальный, чтобы иметь интуитивное понимание) относительно любой точки пространства. Вы можете сказать, что у него нет L (или L = 0), когда точка C лежит на его траектории, как тело B на эскизе:

Формула$L =mvr$r — расстояние между H и параллелью его траектории, проходящей через точку C.

Если молот приближается к точке C ($H_1$) в$v = 2\pi$, является ($H_2$)вращается/ вращается вокруг C или улетает от тангенциальной ($H_3$)при той же скорости его L не изменится:$L = p*r= 10*2\pi*1= 20\pi$. Если его скорость изменится, L изменится соответственно, но только если на него действует внешняя сила. Точно так же метатель изменит свой L, если он перестанет вращаться после того, как отпустит молоток.

Если вы посмотрите на рисунок, то увидите, что если вы рассмотрите фактическое расстояние D от H до C и умножите его (или вектор v) на синус угла, который вектор образует с линией HC (=D), значение угловой момент не меняется

Теперь, после того как молот отпущен, метатель все еще имеет тот же угловой момент (и должен замедлить себя), но у молота, похоже, его больше нет.

Несмотря на то, что молот не вращается вокруг оси, он по-прежнему имеет тот же угловой момент, что и при выпуске, относительно исходной оси .

Итак, формула

$$L = mvd$$ верно как для точечной массы, вращающейся вокруг оси с заданным радиусом $d$, или для точечной массы, движущейся прямолинейно, с $d$являющееся расстоянием наибольшего приближения к оси рассмотрения.

Таким образом, угловой момент сохраняется и частично сохраняется как в молоте, так и в метателе.

Угловой момент в этом примере сохраняется!

Как вы уже сказали, угловой момент метателя не меняется после выпуска молота.

Предположим, что молот вращается вокруг начала нашей системы координат в течение$t < 0$:

$$\vec{r}(t) = r_0 \ \ (cos(\omega t), sin(\omega t), 0)^T$$ . Таким образом, его импульс определяется выражением: $$\vec{p}(t) = m \vec{v} = m \dot{\vec{r}} = m r_0 \omega \ \ (-sin(\omega t), cos(\omega t), 0)^T$$ Теперь мы знаем, что его угловой момент определяется выражением: $$\vec{L}(t) = \vec{r}(t) \times \vec{p}(t) = m r_0^2 \omega \ \ (0,0,1)^T$$

Предположим, что молоток отпущен в момент$t=0$. Затем он будет двигаться по прямой линии, параллельной$\vec(p)(0)$. Это движение можно выразить так:

$$\vec{r}\ '(t) = \vec{v}\ ' \cdot t + \vec{r}(0) = \frac{\vec{p}(0)}{m} \cdot t + \vec{r}(0) = r_0 \ \ (1, \omega t, 0)^T$$ Он явно имеет импульс: $$\vec{p}\ '(t) = \vec{p}(0) = m r_0 \omega \ \ (0, 1, 0)^T$$ Расчетным путем получается для углового момента после выброса $$\vec{L}\ '(t) = \vec{r}\ '(t) \times \vec{p}\ '(t) = m r_0^2 \omega \ \ (0,0,1)^T$$ , то есть так же, как и до релиза.

В общем случае угловой момент не обязательно должен сохраняться в каждом процессе. Только если основное действие (с точки зрения лагранжевого формализма) инвариантно относительно вращения вокруг оси, угловой момент в направлении этой оси сохраняется.

Когда метатель молота замахивается молотом, согласно теореме Штейнера , момент инерции системы складывается из точки массы, находящейся на расстоянии от центра вращения, и тела, вращающегося вокруг своего центра масс

$$I = I_c + m \times r^2$$ так что наш полный момент инерции складывается из 4-х частей.

$$I_{\text{complete}} = (I_{c_1} + m_1 \times r_1^2) + (I_{c_2} + m_2 \times r_2^2)$$

Отсюда мы можем вычислить угловой момент.

Когда молоток отпускается, угловой момент делится на оба объекта. Оба продолжают вращаться вокруг своего центра масс, но оставшийся угловой момент (от$m \times r^2$) преобразуется в линейный импульс.