Delta-V требуется для старта с планеты/астероида

Для любого сферического тела с плотностью$\rho$и радиус$R$ и нет атмосферы , мы можем легко это вычислить. Предположим, вы запускаете на очень низкую орбиту, которая просто скользит по поверхности сферы. Вы можете добавить 10% или 20% позже для такой планеты, как Земля, с ее атмосферой. Венера будет намного сложнее! (поэтому я отдельно спросил Запуск на орбиту дельта-v штрафа от Венеры по сравнению с Землей? )

$$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho.$$

Из уравнения vis-viva орбитальная скорость (примерно дельта-v, необходимая для выхода на очень низкую орбиту вокруг сферы без запуска атмосферы с поверхности) равна

$$v= \sqrt{\frac{GM}{R}} = 2R\sqrt{\frac{\pi G \rho}{3}},$$

и период

$$T = \frac{2 \pi R}{v} = \pi \sqrt{\frac{3}{G\pi \rho}}.$$

Удивительно, но хотя скорость линейно увеличивается с радиусом (для заданной плотности), период не зависит от размера. Высокая средняя плотность Земли даст период около 90 минут, но низкая плотность шара для боулинга или кометы будет иметь период ближе к 4 часам.

Гравитационная постоянная G составляет 6,674E-11 м ^ 3 / кг с ^ 2, а некоторые плотности и примеры ((почти) все из Википедии):

object or substance        ρ (kg/m^3)    R(m)        v(m/s)          T(min)
-------------------        ----------  ---------     ------          ------
    Earth                    5514     6,371,000      7,910             84
    Moon                     3344     1,737,000      1,679            108
    2-Pallas                 3000       256,000        234            114
    1-Ceres                  2160       469,730        365            135
    Pluto                    1854     1,188,000        855            145
    162173 Ryugu             1330           432          0.26         172
    bowling ball*           ~1000             0.22       0.00012      198
    Haley's comet             600         5,500          2.2          255

    *https://hypertextbook.com/facts/2009/MarwaElfar.shtml
     https://hypertextbook.com/facts/2002/ZacharyCampbell.shtml

В первом приближении можно рассчитать орбитальную скорость :

$v_o \approx \sqrt{\frac{GM}{r}}$

где Vo — орбитальная скорость, G — гравитационная постоянная , M — масса планеты, r — радиус орбиты.
Это дает вам необходимую скорость. Вы не можете сказать$v_o = \Delta V$, потому что$\Delta V$содержит ряд других факторов:

• потенциальная энергия из-за высоты орбиты
• скорость, набранная или потерянная при запуске по или против вращения планеты (вам необходимо рассчитать скорость вращения вашего места запуска). На экваторе Земли это около 1600 км/ч.
• потери энергии из-за, например, сопротивления

Я тоже собираюсь начать с орбитальной скорости в качестве первого приближения, но мы можем сделать немного лучше.

$$\Delta v = v_{orbit} = \sqrt{\frac{\mu}{r}}$$

Если вы используете только это приближение, вам следует использовать радиус объектов для$r$а не радиус низкой орбиты, поскольку это дает несколько более высокую стоимость, которая лучше объясняет другие связанные с этим потери.

Чтобы учесть разницу в высоте, идеальный случай будет включать эллиптическую переходную орбиту, касающуюся поверхности, и высоту целевой орбиты. Это применимо для объектов с малой массой и без атмосферы, таких как астероиды:

$$\Delta v = \sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_{surface}} - \frac{2}{r_{surface} + r_{orbit}}\right)} + \sqrt{\frac{\mu}{r_{orbit}}} - \sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_{orbit}} - \frac{2}{r_{surface} + r_{orbit}}\right)}$$

Для более длительных непрерывных горений более применима и немного проще траектория, которая больше похожа на передачу с малой тягой:

$$\Delta v = 2\sqrt{\frac{\mu}{r_{surface}}}-\sqrt{\frac{\mu}{r_{orbit}}}$$

Другие факторы

Земля вращается (465 м/с на экваторе), и многие другие объекты тоже. Обычно скорость вращения можно напрямую вычесть из вашей$\Delta v$стоимость, в случае запуска prograde. Масштабируется по cos(широте).

Гравитационные потери. Ракете необходимо противодействовать гравитации, чтобы оставаться в воздухе. В первом приближении будет:

$$\Delta v_{gl} =g\cdot T_{burn}$$

но это вообще слишком. Более разумная модель:

$$\Delta v_{gl} =\frac{2}{3} \cdot T_{burn}\left(\frac{\sqrt{(g\cdot T_{burn})^2/2 + \Delta v^2}-\Delta v}{g}\right)$$

Тащить. Нет простого приближения. Предположим, 1-3 км/с для Земли.

Если вам нужны более точные результаты, чем эти, вам потребуется численное моделирование вашего космического корабля или вам придется искать значения для таких симуляций для существующих космических кораблей.

Или для быстрого поиска:

оригинальный

(Примечание. Значения выглядят так, как будто они включают атмосферное сопротивление, поэтому для атмосферных тел входящая дельта-v немного ниже, а в случае Венеры намного)