Действительно ли векторы не зависят от систем координат?

Мне сказали думать о векторах как о существующих независимо от системы координат.

Да. Потому что векторы представляют физические факты. Эта вещь находится на полпути между этими двумя вещами. Этот другой объект движется прямо к Толедо. И так далее.

Но не такие вещи, как «его координата x составляет +7 метров», что является не просто фактом о вещи, но тем, что запутывает выбор начала и ориентации осей в описании. Нет оснований ожидать, что факт, зависящий от происхождения, будет независимым от происхождения. Нет и априорной причины ожидать, что факт, зависящий от ориентации осей, не будет зависеть от этой ориентации.

Что приводит нас к:

Это означает, что величина вектора не должна зависеть от выбранной нами системы координат.

Нет. Физический факт, представленный вектором, остается прежним, но числовые значения, используемые сверху, представляют этот факт, зависят от того, как вы решили их измерить (и «соглашение о том, как измерять положения» — это разумное определение системы координат). .

Теперь есть числовые факты о величинах, которые не зависят от определенного преобразования систем координат. Величина декартовых векторов инвариантна при поворотах системы координат. Величина векторов Лоренца не зависит от этих вращений и бустов. И так далее. Но утверждение, процитированное здесь, обобщает это.

Как возможно иметь вектор, который имеет другую величину в другой системе координат?

Когда позиции рассматриваются как позиции векторов (что часто делается на вводных курсах), они представляют собой смещения от начала координат. Но это делает очевидным, что изменение источника изменит вектор, который вы используете. Преобразование Галилея представляет собой постоянно меняющееся начало координат, поэтому позиции и их производные могут не быть инвариантными при таких преобразованиях.

Система координат — это не то же самое, что система отсчета.

Система отсчета - это в основном твердое тело, считающееся неподвижным, поэтому точка и три оси.

Система координат зависит от фрейма и используется для определения положения точки.

Как объяснил Стив, как только кадр выбран,

Выбор другой ссылки для описания объектов в этом пространстве не меняет никаких свойств объекта или пространства. Это аналогично взгляду с другой точки зрения или разговору об этом на другом языке. Величина одинаковая независимо.

Векторы не зависят от системы координат. Однако они зависят от системы отсчета, и преобразование Галилея изменяет систему отсчета.

Однако силы не зависят от системы отсчета!

Позиции не являются векторами.$x$не является вектором. Есть две вещи, которые вы можете сделать с векторами: сложить их вместе и масштабировать. Нет смысла говорить о позиции Вашингтона, округ Колумбия, плюс позиция Нью-Йорка, или позиции Вашингтона, округ Колумбия, времен$2$. Что мы можем сделать, так это произвольно выбрать точку и рассмотреть вектор, полученный разницей между двумя точками. Однако результирующий вектор зависит от произвольно выбранной точки, которую мы обычно называем началом координат. Любое преобразование, изменяющее начало координат, изменит вектор, представляющий точку. Конечно, суть не меняется. Нью-Йорк не сдвинется с места, если я решу использовать Южный полюс в качестве точки отсчета вместо Северного полюса. Скорости уже являются векторами, поскольку они соответствуют (пределу) разницы между двумя точками.

Позволять$x$быть точкой, которая нас интересует, и$O$быть произвольно выбранным началом. Тогда есть вектор смещения$\mathbf r = x - O$.$x$затем$\mathbf r + O$. Если мы сохраним различие между$x$и$\mathbf r$путаницы нет.$\mathbf r$ не зависит от происхождения. «226 миль на северо-восток», как и «проехать 226 миль на северо-восток», означает одно и то же, независимо от того, где вы находитесь или как вы называете исходную точку. (По крайней мере, на плоскости. На земном шаре все более тонко. Поверхность земного шара не является аффинным пространством. См. следующий абзац.)$x$также не зависит от происхождения. Что не является инвариантным, так это то, что$-\mathbf r + x$это то, что мы в настоящее время называем «происхождением». Если мы изменим происхождение на$O' = \mathbf r' + O$тогда у нас есть$x = \mathbf r - \mathbf r' + O'$. Если мы хотим знать, что$x - O'$мы получаем$\mathbf r - \mathbf r'$. Другой способ сформулировать это — сказать, что у нас есть функция,$f$, который присваивает точкам векторы «положения». Это (часть) нашей системы координат. Наша исходная функция$f(y) = y - O$и у нас есть$f(x) = \mathbf r$. Изменение системы координат означает выбор другой функции,$g$. В приведенном выше случае$g(y) = y - O'$. Сейчас$g(x) = \mathbf r - \mathbf r'$. Итак, что меняется, когда мы меняем систему координат, не в этом дело.$x$или вектор$\mathbf r$, но присваивание, представленное функцией$f$. В этом случае мы можем представить преобразования из старых векторов «позиции» в новые векторы «позиции», вычитая вектор$\mathbf r'$. Более сложные изменения координат могут привести к более сложным и тонким преобразованиям. Например,$f(y) = 1000(y-O)$может представлять собой переход от километров к метрам. Очевидно, что это не делает вещи в 1000 раз дальше. Вместо этого это изменение координат имеет компенсирующее изменение в нашем понятии длины, а именно то, что 1000 единиц в новой системе равняются 1 единице в старой. Другими словами, у нас есть коэффициент преобразования$1000\frac{\text{m}}{\text{km}}$, то есть вектор с величиной 1000 в нашей новой системе, т. е. его длина 1000 м, такой же, как вектор с величиной 1 в нашей старой системе, то есть его длина 1 км. У нас всегда будут такие компенсирующие изменения для любого корректного изменения координат (технически называемого диффеоморфизмом). Это всего лишь отражение того факта, что изменение того, как мы обозначаем части реальности, не меняет реальности.

Технически пространство, в котором существует четко определенное понятие «разность между двумя точками», называется аффинным пространством . Есть более общее понятие, называемое торсором . Многие понятия в физике правильнее рассматривать как торсоры/аффинные пространства. Например, ориентация на плоскости — это торсор. Не имеет смысла составлять ориентации, но мы можем рассмотреть «соотношения», которые мы называем поворотами, которые переводят одну ориентацию в другую. Что означает северо-восток, составленный из севера? Ничего, это ерунда, но вполне разумно говорить о вращении на 45°, составленном из вращения на 90°, которое дает вращение на 135°.

К сожалению, большая часть литературы по физике — особенно ранняя — объединяет аффинные пространства и векторные пространства (и другие торсоры с их группами), что приводит к путанице такого рода и подобным. Я рекомендую ссылку, которую я дал ранее для торсоров.

Одна вещь, которая может вызвать некоторую путаницу, заключается в том, что существуют некоторые различия между тем, как физики думают о векторах и скалярах, и тем, как думают о них математики. Физики склонны думать о них так:

• 3-вектор — это вектор, который трансформируется при изменении базиса так же, как пространственное смещение.
• 4-вектор — это вектор, который трансформируется при изменении базиса так же, как пространственно-временное смещение.
• Скаляр — это величина, которая никак не меняется при изменении базиса.

Основываясь на этих идеях, я считаю полезным представить идею того, что я называю «незавершенным объектом» или IO. IO — это математический объект, который не содержит достаточно информации, чтобы вы могли его преобразовать. Предположим, я поеду в Геттисберг и встану перед медной табличкой, обозначающей место битвы. Я мог бы сказать, что у меня есть вектор смещения$\Delta\textbf{x}=0$между моим нынешним положением в космосе и местом, где произошло сражение. Но, конечно, все это при условии, что Земля покоится. Безусловно, существует галилеевская система отсчета, в которой$\Delta\textbf{x}=0$, но есть и другие кадры, в которых$\Delta\textbf{x}\ne0$. Этот$\Delta\textbf{x}$является IO в контексте преобразований Галилея. Предположим, я скажу вам, что$\Delta\textbf{x}=0$в определенном кадре, а затем попросят вас найти значение$\Delta\textbf{x}$в каком-то другом кадре, скажем, в кадре, движущемся к Сириусу в$10^5$РС. Это недостаточно информации. Для выполнения расчета вам также необходимо знать время между битвой при Геттисберге и сегодняшним днем. Чтобы смещение не было IO, нам нужно изменить его на 4-вектор.

Проблема с 3-векторами скорости в основном такая же, как и проблема с 3-векторами смещения. 3-вектор скорости - это просто смещение, деленное на время, поэтому это IO при преобразованиях Галилея. Релятивистски мы используем 4-векторы скорости (которые имеют произвольную нормировку), и эти 4-векторы действительно преобразуются соответствующим образом при преобразовании Лоренца (хотя они не объединяются в соответствии с добавлением векторов при относительном движении).

Другой хороший пример IO связан с обычным методом калибровки магнитного компаса, встроенного в некоторые портативные устройства GPS. В инструкции к устройству сказано держать его в горизонтальной плоскости и медленно вращать на 360 градусов. Поскольку устройство верит во вращательную инвариантность, оно знает, как$B_x$и$B_y$должен преобразоваться, и если он обнаружит, что$\sqrt{B_x^2+B_y^2}$не остается постоянным, он может перекалибровать себя, чтобы устранить несоответствие. Но если вы потом наклоните устройство так, чтобы оно не было в горизонтальной плоскости, оно станет грустным и запутанным. Это говорит вам, что$(B_x,B_y)$является вводом-выводом, и вам нужно расширить его до$(B_x,B_y,B_z)$.

Другим примером IO является плотность заряда.$\rho$. Чтобы сделать его полным объектом, вам нужно расширить его до текущего 4-вектора$(\rho,\textbf{j})$.

Одна вещь, на которую следует обратить внимание в теории относительности Галилея, это отсутствие метрики. Не существует единой системы измерения, измеряющей и время, и пространство. Следовательно, хотя вы можете превратить векторы смещения и скорости в галилеевские 4-векторы, которые представляют собой богобоязненные полные объекты, а не IO, вы не можете говорить о величине галилеева 4-вектора.