Определение векторного перекрестного произведения

Надеюсь, я прав, говоря, что кросс-произведение, А → × Б → двух векторов определяется правилом правой руки (например, если А → указывает на указательный палец и Б → по второму пальцу, затем А → × Б → точки вдоль большого пальца), если вы используете правостороннюю систему координат, и по правилу левой руки, если вы используете левостороннюю систему координат.

Что мотивирует эту разницу в правилах? Я понимаю концепцию правой и левой систем координат, но я не понимаю, почему наше определение самого перекрестного произведения должно зависеть от системы координат. Что было бы неправильного в том, чтобы продолжать определять векторное произведение с помощью правила правой руки, используя при этом левостороннюю систему координат и принимая тот факт, что его компоненты будут иметь разные знаки в другой системе координат? [Я использую перекрестное произведение в качестве примера осевого вектора.]

Еще одна попытка объяснить мою трудность (психический блок?) Возьмем магнитную силу Лоренца, Ф → "=" д в → × Б → . Что имеет направление Ф → делать с системами координат? Разве это не фиксировано относительно в → и Б → правилом правой руки (и различными другими соглашениями)?

В левой координате имеем я ^ × Дж ^ "=" − к ^ . Вы не получите этого, используя правило правой руки. Вам понадобится правило левой руки.
Зачем усложнять ситуацию конфликтующими правилами и системами координат, когда приходится беспокоиться о знаках? Гораздо проще делать вещи простыми. Не уверен, что этому есть более глубокое объяснение.
@Koo Zhengqun Мне кажется, что все усложняет определение перекрестного произведения по-разному в зависимости от системы координат. Я всегда думал, что вектор не зависит от системы координат. Я ожидаю, что упускаю что-то очевидное.
Перекрестное произведение зависит от векторного поля/пространства, в котором оно определено. Вы не можете применять разные правила к одному, а не к другому.
Различны отношения между понятиями. Система координат и векторное произведение тесно связаны, поскольку вы можете описать векторное произведение в терминах системы координат или, наоборот, систему координат в терминах векторного произведения. Вы также можете использовать векторы для описания перекрестных произведений, но вы также можете использовать векторы для описания множества других вещей. С другой стороны, вы не можете использовать векторные произведения для описания векторов.
Правша и левша условны, но на самом деле соответствуют математическим формулам.
Всем спасибо за попытку помочь. Я добавил еще один короткий абзац к первоначальному вопросу, чтобы помочь объяснить мою трудность, но я полагаю, что это безнадежный случай.
@Diracology «В левой координате у нас есть î ×ĵ =−k̂ . Вы не получите этого, используя правило правой руки. Вам понадобится правило левой руки». Но я г я г просто получите его, используя правило правой руки: вращая указательный палец левой руки ( я → ) ) на средний палец левой руки ( Дж → ) ) правый винт продвигается в направлении, противоположном тому, куда указывает большой палец левой руки.
направление Ф и из в не зависят от системы координат, это векторы. Но Б не вектор (это псевдовектор), а произведение операции × определяется так, что когда вектор объединяется с псевдовектором, вы получаете вектор, следовательно, правила плавания.
Посмотрим, понял ли я...
Если есть еще какие-то терпеливые люди, дайте мне посмотреть, понял ли я… Это тот случай, когда (1) первый комментарий выше (по Диракологии) неверен, и что даже в левосторонней системе, я → × Дж → "=" к → и что (2) в левой системе магнитная сила Лоренца равна Ф → "=" − д в → × Б → . Если так, я думаю, я понимаю.

Ответы (1)

На каком-то уровне ваш вопрос просто сводится к соглашениям: существует несколько наборов соглашений о знаках, каждый из которых дает правильный ответ, поэтому вам просто нужно найти тот, который вы считаете концептуально удовлетворительным, и придерживаться его.

Было бы полезно указать, что вы можете напрямую измерять только полярные векторы. Осевые векторы можно рассматривать как просто математические абстракции, которые появляются только как промежуточные шаги в физическом процессе. Например, вы правы в том, что в законе силы Лоренца Ф "=" д в × Б , сила есть физическая величина, направление которой не должно менять знак при преобразованиях координат. Но помните, что само магнитное поле физически определяется законом Био-Савара (в магнитостатическом приближении; в динамическом случае все усложняется, но свойства преобразования четности не меняются):

Б ( Икс ) "=" ∫ г 3 Икс ′   Дж ( Икс ′ ) × р ^ р 2 ,
где р "=" Икс − Икс ′ . Следовательно, магнитное поле является осевым вектором и не может быть измерено напрямую; вы можете только когда-либо наблюдать его эффект, взяв другое векторное произведение, чтобы получить силу через закон силы Лоренца.

Суть в том, что вы всегда можете расширить любой физически измеримый вектор, определяемый четным числом перекрестных произведений. Например, вы можете записать магнитную силу, действующую на частицу, как

Ф ( Икс ) "=" д в × ∫ г 3 Икс ′   Дж ( Икс ′ ) × р ^ р 2 .

Таким образом, есть два разных, но физически эквивалентных способа концептуализировать изменение хиральности вашей системы координат. Вы можете думать, что все «правосторонние» перекрестные произведения становятся «левыми» перекрестными произведениями, и в этом случае все осевые векторы (например, магнитное поле) физически меняют направление, но, поскольку их нельзя физически измерить, это имеет значение. никаких последствий для наблюдаемой физики. Или вы можете, как вам больше нравится, думать о перекрестных произведениях как о «физически» определяемых правилом правой руки, и в этом случае они не меняют направление, потому что им не важен ваш выбор координат. В этих рамках магнитное поле не меняет направление при инверсии координат. Обе концепции приводят к идентичной наблюдаемой физике: поскольку любой непосредственно наблюдаемый вектор состоит из четного числа перекрестных произведений, он либо не принимает знаков минус, либо имеет четное количество знаков минус при инверсии координат. В любом случае его направление не меняется.

Спасибо за этот ответ. Предоставление возможности выбора точек зрения кажется мне путем вперед. Я знал, что мои трудности больше связаны с языком и условностями, чем с физикой или даже математикой. Но многие элементарные изложения этого вопроса догматичны и, на мой взгляд, сбивают с толку.
Определение векторного перекрестного произведения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v