Проблемы с ускорением в полярных координатах

Question

Проблемы с ускорением в полярных координатах

Кристофер Корфилд Аакре

Итак, я решил вопрос об ускорении в полярных координатах, но большинство людей в моем классе (Классическая физика, физика на первом курсе университета) не согласны с моим ответом. Таким образом, речь идет о круговой развязке детской площадки радиусом 3 м, вращающейся со скоростью 10 м/с. Человек на кольцевой развязке бросает снежок в центр кольцевой развязки со скоростью 20 м/с. Какое ускорение испытает снежный ком, чтобы он не попал в центр?

Итак, я начал с формулы ускорения в полярных координатах:

\vec{а} "=" \hat{р} (\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2}) + \hat{θ} (р \ddot{θ} + 2 \dot{р} \dot{θ}) .

$\vec{a} = \hat{r}(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) + \hat{\theta}(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}).$

Я позволил центру кольцевой развязки быть источником и интерпретировал проблему следующим образом: $r$ - расстояние от снежного кома до центра кольцевой развязки, $\dot{r}$ тогда - одномерная скорость снежного кома, и $\ddot{r}$ будет скорость изменения $\dot{r}$ . $\dot{\theta}$ - угловая скорость кругового перекрестка, а $\ddot{\theta}$ угловое ускорение.

Итак, из условия задачи я выбрал следующие значения:

$\ddot{r} = 0, \dot{r} = -20 \text{ ms}^{-1}, r = (3 - 20t)m, \ddot{\theta} = 0, \dot{\theta} = 3.33 \text{ rad s}^{-1}$

А затем я просто подставил эти значения в формулу выше. Затем я получаю ответ, где компонент $\vec{a}$ в $\hat{r}$ направление зависит от $t$ , и есть постоянная составляющая в $\hat{\theta}$ направление.

Однако большинство людей в моем классе не использовали эту формулу и утверждают, что должно быть только ускорение Корилиуса, например, тета-компонент в этом случае, поскольку $\ddot{\theta} = 0.$ Для меня это не имеет смысла, так как у меня сложилось впечатление, что формула ускорения всегда должна работать в полярных координатах. Мне определенно так кажется, когда первая строка в выводе столь же общая, как просто $\vec{r} = r\hat{r}$ , а затем возьмем первую и вторую производные от $\vec{r}$

Итак, я хочу знать, кто прав? Прав ли я, что мы можем просто применить эту формулу, или мои одноклассники правы, и есть только ускорение Corilios? Кроме того, значения, которые я выбрал для $\ddot{r}, \dot{r}, r, \ddot{\theta}, \dot{\theta}$ правильный?

Любая помощь приветствуется!

Г. Смит

Ты так думаешь

\dot{r}

$\dot{r}$ скорость снежного кома и

\dot{θ}

$\dot{\theta}$ - угловая скорость кругового движения. Как вы думаете, почему в формуле ускорения

r

$r$ и

θ

$\theta$ будут координаты разных объектов?

Кристофер Корфилд Аакре

Я полагал, что, поскольку снежный ком будет испытывать ускорение, мы должны сказать, что

\dot{r}

$\dot{r}$ скорость снежного кома, а

\dot{θ}

$\dot{\theta}$ - угловая скорость снежного кома. Извините, мне следовало уточнить, что я предполагал, что снежок и круговой перекресток будут иметь ту же угловую скорость, что и снежный ком, брошенный человеком на кольцевом перекрестке. Это предположение не верно?

Г. Смит

Если бы они имели одинаковую угловую скорость, почему снежный ком не попал бы в центр?

Кристофер Корфилд Аакре

О, да, я думаю, это не так. Это было глупо с моей стороны. Извините, моя интуиция не самая лучшая. Теперь я думаю, что угловая скорость снежного кома должна быть равна 0, но, глядя на формулу, она не кажется правильной, так как каждый член тогда обращается к 0. Не могли бы вы дать мне указатель, как вычислить угловую скорость снежного кома?

томтом1-4

Вы не можете предположить, что

r = r_{0} - \dot{r} t

$r=r_0-\dot{r}t$ . Я понимаю, о чем вы думали, но это справедливо только для промежуточной системы отсчета. Что вам нужно сделать, так это решить дифференциальное уравнение с правильными начальными условиями.

Кристофер Корфилд Аакре

@tomtom1-4 спасибо за ваш комментарий. Извините, я только начал работать с этими видами этого. Я не уверен, какое дифференциальное уравнение вы имеете в виду. Можете ли вы уточнить?

томтом1-4

Ну нет никакой внешней силы. Поэтому

a = 0

$\textbf{a}=0$ . И тогда вы получите обыкновенное дифференциальное уравнение.

томтом1-4

Но когда я смотрю на это. Кажется, вы не можете решить это вовремя

r (t)

$r(t)$ аналитически. Попробуйте решить ее в терминах

θ

$\theta$ .

томтом1-4

Конечно, было бы намного проще, если бы вы решали ее из инерциальной системы отсчета, а затем переходили в круговую.

Биофизик

Какое ускорение испытает снежный ком, чтобы он не попал в центр? Вы имеете в виду, когда его бросают? После броска его ускорение будет только за счет силы тяжести.

РВ Берд

Думаю, можно считать, что скорость 10 м/с на краю с R = 3 м, но с какого R брошен снежок?

РВ Берд

Я согласен с томатом. В инерциальной системе отсчета снежок движется с постоянной скоростью с радиальной и тангенциальной составляющими.

Ответы (4)

Проблемы с ускорением в полярных координатах

Ты так думаешь $\dot{r}$ скорость снежного кома и $\dot{\theta}$ - угловая скорость кругового движения. Как вы думаете, почему в формуле ускорения $r$ и $\theta$ будут координаты разных объектов?
Я полагал, что, поскольку снежный ком будет испытывать ускорение, мы должны сказать, что $\dot{r}$ скорость снежного кома, а $\dot{\theta}$ - угловая скорость снежного кома. Извините, мне следовало уточнить, что я предполагал, что снежок и круговой перекресток будут иметь ту же угловую скорость, что и снежный ком, брошенный человеком на кольцевом перекрестке. Это предположение не верно?
Если бы они имели одинаковую угловую скорость, почему снежный ком не попал бы в центр?
О, да, я думаю, это не так. Это было глупо с моей стороны. Извините, моя интуиция не самая лучшая. Теперь я думаю, что угловая скорость снежного кома должна быть равна 0, но, глядя на формулу, она не кажется правильной, так как каждый член тогда обращается к 0. Не могли бы вы дать мне указатель, как вычислить угловую скорость снежного кома?
Вы не можете предположить, что $r=r_0-\dot{r}t$ . Я понимаю, о чем вы думали, но это справедливо только для промежуточной системы отсчета. Что вам нужно сделать, так это решить дифференциальное уравнение с правильными начальными условиями.
@tomtom1-4 спасибо за ваш комментарий. Извините, я только начал работать с этими видами этого. Я не уверен, какое дифференциальное уравнение вы имеете в виду. Можете ли вы уточнить?
Ну нет никакой внешней силы. Поэтому $\textbf{a}=0$ . И тогда вы получите обыкновенное дифференциальное уравнение.
Но когда я смотрю на это. Кажется, вы не можете решить это вовремя $r(t)$ аналитически. Попробуйте решить ее в терминах $\theta$ .
Конечно, было бы намного проще, если бы вы решали ее из инерциальной системы отсчета, а затем переходили в круговую.
Какое ускорение испытает снежный ком, чтобы он не попал в центр? Вы имеете в виду, когда его бросают? После броска его ускорение будет только за счет силы тяжести.
Думаю, можно считать, что скорость 10 м/с на краю с R = 3 м, но с какого R брошен снежок?
Я согласен с томатом. В инерциальной системе отсчета снежок движется с постоянной скоростью с радиальной и тангенциальной составляющими.

происхождение · Answer 1

Игнорирование движения z в следующем.

Система отсчета: «лаборатория» — та, в которой вращается карусель. Правосторонний, начало в центре кольцевой развязки.

Траектория — прямая. Разгона нет. Причина, по которой мяч не попадает в центр, заключается в том, что его начальные условия таковы: всегда была начальная касательная ( $\hat{\theta}$ ) скорость.

Система отсчета: «вращающаяся» — та, в которой круговой перекресток покоится. Совпадает с лабораторией в $t=0$

В $\mathbf{t=0}$
Объект имеет только радиальную скорость ( $-\hat{r}$ ). Теоретически он должен попасть в центр. Единственная причина, по которой этого не произойдет, - это если что-то ускорило его по касательной. Это исходит от псевдо-сил. Объект испытывает ускорение:

Кориолис: $\propto -\vec{\omega} \times \vec{v}$ . Здесь, поскольку $\hat{v}=-\hat{r}$ , ускорение именно то, что нам нужно: вдоль $\hat{\theta}$ .
Центробежный: $\propto -\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$ . Здесь, поскольку $\hat{v}=-\hat{r}$ , ускорение равно $\hat{r}$ . Не повлияет на попадание в центр.

В $\mathbf{t\gt0}$

Объект начинает двигаться по касательной. В то же время его радиальная скорость уменьшается под действием центробежной силы. Также сила Кориолиса от тангенциального движения также является центробежной. В целом объект движется так, как если бы он двигался вперед, изгибаясь в направлении вращения (см. рис. 1 ниже).
В конце концов объект резко поворачивает назад и, кажется, ускользает от кольцевой развязки (см. рис. 2 ниже).
теперь направление силы Кориолиса переключается....

В целом объект движется по все возрастающей спирали. Обратите внимание, что ускорение продолжает меняться во времени.

Заключение

Итак, чью рамку мы должны рассматривать? Зависит от наблюдателя — если это человек на круговом перекрестке, то это вращающаяся рама. Конечное ускорение должно, конечно, включать силу тяжести. Заявленные значения для $\ddot{r}, \dot{r}, r, \ddot{\theta}, \dot{\theta}$ кажутся правильными для лабораторного кадра.

Во вращающейся раме
$\ddot{r} \ne 0, \dot{r} = -20 \text{ ms}^{-1}, r \ne(3 - 20t)m, \ddot{\theta} \ne 0, \dot{\theta} = 0 \text{ rad s}^{-1}$

рис. 2: Исходная траектория. (Синяя кривая — это траектория, видимая во вращающейся рамке. Оранжевая — это место, где человек будет находиться в лабораторной рамке. По осям X и Y — положения X и Y в метрах)

рис. 2: Траектория через некоторое время. (Синяя кривая — это траектория, видимая во вращающейся рамке. Оранжевая — это то место, где человек находился бы в лабораторной рамке.)

Что касается формулы, которую вы указали, она применима только к инерциальным системам отсчета. В частности, для вращающихся кадров используйте ( $'$ обозначает вращающуюся рамку)

$м {\vec{а}}^{'} "=" {\vec{Ф}}^{'} - м \frac{г \vec{ю}}{г т} \times {\vec{р}}^{'} - 2 м \vec{ю} \times м {\vec{в}}^{'} - м \vec{ю} \times (\vec{ю} \times {\vec{р}}^{'})$ $m\vec{a}'=\vec{F}' -m\frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}' -2 m \vec{\omega} \times m \vec{v}' -m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}')$ с ${\vec{Ф}}^{'} "=" {\hat{р}}^{'} ({\ddot{р}}^{'} - р^{'} {\dot{θ}}^{' 2}) + {\hat{θ}}^{'} (р^{'} {\ddot{θ}}^{'} + 2 {\dot{р}}^{'} {\dot{θ}}^{'}) {\vec{в}}^{'} "=" {\dot{р}}^{'} {\hat{р}}^{'} + р^{'} {\dot{θ}}^{'} {\hat{θ}}^{'}$ $\vec{F}'= \hat{r}’(\ddot{r}’ - r'\dot{\theta}’^2) + \hat{\theta}’(r'\ddot{\theta}’ + 2\dot{r}’\dot{\theta}’)\\ \vec{v}'=\dot{r}'\hat{r}'+r'\dot{\theta}'\hat{\theta}'$
В $t=0$ , без приложения силы
$\vec{ю} "=" ю {\hat{г}}^{'} {\vec{р}}^{'} "=" р {\vec{\hat{р}}}^{'} \vec{в} "=" - в {\vec{\hat{р}}}^{'} {\vec{Ф}}^{'} "=" 0$ $\vec{\omega}=\omega\hat{z}'\\ \vec{r}'=R \vec{\hat{r}}'\\ \vec{v}=-v \vec{\hat{r}}'\\ \vec{F}'=0\\\$ мы получаем ${\vec{а}}^{'} "=" 2 м ю в {\hat{θ}}^{'} + м ю^{2} р {\hat{р}}^{'}$ $\vec{a}'=2 m \omega v \hat{\theta}'+m \omega^{2}R\hat{r}'$

Очень хороший ответ! Ваше уравнение для F' должно включать массу.

Эндрю Стин · Answer 2

Возможно, это противоречит сути упражнения, но мне кажется, что если вы хотите знать, что делает снежный ком, то почему бы просто не рассчитать движение снежного кома, которое не имеет никакого отношения к движению карусели. Он просто летит по параболе, горизонтальная часть которой представляет собой прямую линию относительно земли. Если начальная скорость направлена к центру кольцевой развязки, то он попадет в центр кольцевой развязки.

Даже если вы собираетесь выполнять расчеты в каком-то другом кадре, это, безусловно, поможет узнать, каков ответ при расчете самым простым способом.

Я думаю, проблема в том, что начальная векторная скорость не направлена к центру; это составляющая скорости к центру от броска плюс составляющая скорости из-за вращения карусели.

Нарасимхам · Answer 3

Начальная радиальная скорость является причиной отклонения во вращающейся системе отсчета.

В окружном динамическом равновесии ускорение Королиса уравновешивает угловое ускорение

α_{р} "=" - 2 ю {\dot{р}}_{р а г я а л}

$\alpha_r = -2 \omega \dot {r}_{radial}$ и является компонентом де-трекинга.

Джон Дарби · Answer 4

Если гравитация присутствует, она добавляет смещение в вертикальном направлении, но не влияет на смещение в плоскости вращающейся карусели; поэтому я буду игнорировать влияние гравитации.

В инерциальной системе нет силы, следовательно, нет и ускорения, но мяч имеет начальную тангенциальную и радиальную скорость. Тангенциальная от движения вращающейся карусели и радиальная от человека, бросающего мяч. Мяч не попадает в центр, так как начальная скорость не является чисто радиальной. Ваши отношения для ускорения $\vec a$ в полярных координатах находится в инерциальной системе отсчета и в этой системе $\vec a = 0$ так как в инерциальной системе отсчета нет результирующей силы. Поскольку силы нет, шарик движется с постоянной скоростью по прямой линии, но не попадает в центр.

В неинерционной системе отсчета, вращающейся вместе с каруселью, начальная скорость направлена к центру. Но ускорение в этой системе отсчета не равно нулю из-за фиктивных сил, поэтому скорость в этой системе не постоянна. @lineage дает вам уравнение движения в неинерциальной вращающейся системе отсчета как $m\vec a'$ . Его $\vec F'$ — полная сила в инерциальной системе отсчета, равная нулю, как это подробно обсуждалось; его другие условия для $m\vec a'$ включают все фиктивные силы, связанные с вращением вообще. Для этой проблемы $\vec \omega$ постоянна, поэтому фиктивная сила $-m{d\vec \omega \over dt} \times \vec r'$ , иногда называемая силой Эйлера, равна нулю. Оставшиеся две фиктивные силы $-m\vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r')$ , центробежная сила и $-2m\vec \omega \times {d\vec r' \over dt}$ , сила Кориолиса, влияет на движение, наблюдаемое во вращающейся системе отсчета. Центробежная сила направлена радиально наружу, поэтому не препятствует движению шарика к центру. Сила Кориолиса — это фиктивная сила во вращающейся неинерционной системе отсчета, которая препятствует движению мяча к центру.

Положение частицы как функцию времени можно получить, решив уравнение движения либо в инерциальной, либо в неинерциальной вращающейся системе отсчета. Для этой задачи движение в инерциальной системе координат с использованием декартовых координат является прямой линией, поскольку нет силы, а движение с использованием полярных координат как в инерциальной, так и во вращающейся системе отсчета может быть разработано с помощью тригонометрии.

На рисунке 1 P(t) представляет собой положение мяча в момент времени t и выражается с использованием трех различных наборов координат: Декартово $(x, y)$ в инерциальной системе отсчета, полярная $( r, \theta)$ в инерциальной системе отсчета и полярной $(r, \beta)$ в неинерционной вращающейся системе отсчета. Вращающаяся рамка показана красным цветом и имеет угол $\alpha (t)$ относительно инерциальной системы отсчета; ${d\alpha (t) \over dt} = \omega$ постоянно. P(t) по всем трем координатам оценивается на рисунке 1.

На рис. 2 показано движение в декартовой инерциальной системе отсчета. На рис. 3 показано движение с использованием полярных координат как в инерциальной, так и во вращающейся системе отсчета; $r(t)$ одинаково на обоих кадрах.

Проблемы с ускорением в полярных координатах

Кристофер Корфилд Аакре

Г. Смит

Кристофер Корфилд Аакре

Г. Смит

Кристофер Корфилд Аакре

томтом1-4

Кристофер Корфилд Аакре

томтом1-4

томтом1-4

томтом1-4

Биофизик

РВ Берд

РВ Берд

Ответы (4)

происхождение

Система отсчета: «лаборатория» — та, в которой вращается карусель. Правосторонний, начало в центре кольцевой развязки.

Система отсчета: «вращающаяся» — та, в которой круговой перекресток покоится. Совпадает с лабораторией в $t=0$

Заключение

Джон Дарби

Эндрю Стин

Джон Дарби

Нарасимхам

Джон Дарби

Физический смысл членов ускорения в полярных координатах

Когда векторы скорости и ускорения будут перпендикулярны? [закрыто]

Неоднозначность направления угловой скорости и углового смещения из соотношения ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

Используя центростремительное ускорение, чтобы найти величину скорости в момент времени t+dtt+dtt+dt

Каково правильное определение тангенциального ускорения?

Терминология производной по времени от скорости (не скорости)

Что означает величина ускорения?

Направление скорости тела может изменяться, если его ускорение постоянно. Как это возможно, если ускорение является векторной величиной?

Двигаются ли предметы в двух направлениях одновременно?

Вектор положения против полярных координат

Проблемы с ускорением в полярных координатах

Кристофер Корфилд Аакре

Г. Смит

Кристофер Корфилд Аакре

Г. Смит

Кристофер Корфилд Аакре

томтом1-4

Кристофер Корфилд Аакре

томтом1-4

томтом1-4

томтом1-4

Биофизик

РВ Берд

РВ Берд

Ответы (4)

происхождение

Система отсчета: «лаборатория» — та, в которой вращается карусель. Правосторонний, начало в центре кольцевой развязки.

Система отсчета: «вращающаяся» — та, в которой круговой перекресток покоится. Совпадает с лабораторией вт = 0 т "=" 0 t=0

Заключение

Джон Дарби

Эндрю Стин

Джон Дарби

Нарасимхам

Джон Дарби

Система отсчета: «вращающаяся» — та, в которой круговой перекресток покоится. Совпадает с лабораторией в $t=0$