Диффузионное приближение к генетическому дрейфу

Он действительно исходит из модели Райта-Фишера, а именно из ее приближения процесса диффузии.

Если численность населения$N$, то при генерации$t$количество аллелей$A(t)$, поэтому частота аллелей равна$x(t) = A(t)/(2N)$, предполагая диплоидный случай. Затем Райт-Фишер говорит, что:

$$A(t+1)\mid A(t) \sim \text{Bin}(2N,x(t))$$ Таким образом, распределение подсчета следующего поколения с учетом последнего имеет биномиальное распределение (при случайном спаривании). Можно найти, что для биномиально распределенной случайной величины$b\sim \text{Bin}(m,p)$, среднее значение и дисперсия определяются как : $$\mathbb{E}[b]=mp\;\;\;\;\;\;\&\;\;\;\;\;\;\mathbb{V}[b]=mp(1-p)$$ Таким образом, мы получаем, что $$\mathbb{E}[A(t+1)\mid A(t)] = 2N x(t) \;\;\;\;\;\;\&\;\;\;\;\;\; \mathbb{V}[A(t+1)\mid A(t)] = 2N x(t)[1-x(t)]$$ Применение$x(t)=A(t)/(2N)$, Мы видим, что $$\begin{align} \mathbb{E}[x(t+1) \mid x(t)] &= \frac{1}{2N}\mathbb{E}[A(t+1)\mid A(t)]= x(t) \\ \mathbb{V}[x(t+1)\mid x(t)] &= \frac{1}{(2N)^2}\mathbb{V}[A(t+1)\mid A(t)] = \frac{x(t)[1-x(t)]}{2N} \end{align}$$ используя тот факт, что$\mathbb{V}[cX]=c^2\mathbb{V}[X]$.

К форварду Колмогорову мы можем отнести это следующим образом. Напомним, что биномиальное распределение может быть аппроксимировано нормальным распределением со средним значением$\mu$и дисперсия$\sigma^2$определяется средним значением и дисперсией бинома. Это говорит нам о том, что:

$$x(t+\delta t)\mid x(t) \sim \mathcal{N}(x(t),(\delta t)x(t)[1-x(t)]/(2N))$$ Тогда из свойств нормального распределения следует, что $$\Delta x_t=x(t+\delta t) - x(t)\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2(x_t)\delta t)$$ куда$\sigma^2(x_t) = x(t)[1-x(t)]/(2N)$. Отсюда следует следующее равенство (в распределении): $$\Delta x_t = \sigma(x_t)\Delta W_t$$ куда$\Delta W_t\sim \mathcal{N}(0,\delta t)$. В качестве$\delta t\rightarrow 0$, получаем стохастическое дифференциальное уравнение , $$dx_t = \sigma(x_t)dW_t$$ где решения представляют собой марковские случайные процессы (в отличие, например, от ОДУ, где есть только одно решение и это детерминированный путь; думайте об этом как об ОДУ с шумом), в частности, в этом случае диффузия Ито . Обратите внимание, что SDE не имеет$dt$компонента, поскольку среднее значение приращения было$0$. Если затем мы рассмотрим функцию плотности для случайного процесса $p(x,t)$, оно должно удовлетворять уравнению Фоккера-Планка (вперед Колмогорова) : $$\partial_t p(x,t) = -\partial_{xx}[p(x,t)\sigma^2(x)/2]$$ который дает распределение вероятностей по значению аллельной частоты в каждый момент времени (с учетом некоторого начального значения, которое я здесь не указал). Обратите внимание, что$V(x)=\sigma^2(x)$.

---

Что касается интуиции, я не совсем уверен. По сути$V(x)$измеряет, какое изменение частоты аллелей вы можете ожидать в каждом поколении из-за чисто случайных эффектов, т. е. генетического дрейфа. Заметьте, что возмущение отсутствует , когда$x=0$или$x=1$, то есть никакие случайные изменения не могут произойти, если ни у кого или у всех нет аллеля. Заметьте также, что эта дисперсия в точности соответствует дисперсии распределения Бернулли . Это похоже на то, что мы преобразовали модель индивидуального уровня в модель уровня популяции, которая просто рассматривает частоту бинарного выбора присутствия аллеля, я полагаю. Дисперсия (шум) максимальна, когда частота$1/2$. Это как бы отодвигает аллель от середины, увеличивая шум, когда кто-то идет туда; можно было бы ожидать, что (если работать достаточно долго) любая такая модель столкнется и застрянет на$0$или$1$(не уверен, что это правда). Я немного поискал, есть ли другие интересные интерпретации рассматриваемого здесь sde (например, в физике), но не нашел. По сути, это было бы эквивалентно уравнению теплопроводности, распространяющемуся под некоторой потенциальной функцией, контролируемой$\sigma$.

---

Ваш вопрос тесно связан с этим . Мой ответ в значительной степени соответствует Татару и др., Статистический вывод в модели Райта-Фишера с использованием данных о частоте аллелей .